L'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Phil1987 |
| Aufgabe | | x (hoch2) + x (hoch3) / e (hoch x) |
Hallo, hätte dringend Fragen zu L'hospital.
Wie ist die genau vorgehensweise bei +/- unendlich?
anhand der beispielaufgabe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mo 01.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
für [mm] x\to\infty [/mm] kannst du l'Hospital anwenden, es gilt:
[mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{x^{2}+x^{3}}{e^{x}}=_{''}\bruch{\infty}{\infty}''
[/mm]
Also
[mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{x^{2}+x^{3}}{e^{x}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\to\infty}\bruch{\left(x^{2}+x^{3}\right)'}{\left(e^{x}\right)'}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
(Unter Umständen musst du nochmals l'Hospital anwenden)
Für [mm] x\to-\infty [/mm] kannst du l'Hospital nicht anwenden, da
[mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{x^{2}+x^{3}}{e^{x}}=_{''}\bruch{-\infty}{0}''
[/mm]
Also musst du dir hier einen anderen Weg einfallen lassen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Phil1987 |
hallo marius,
erstmal danke...
aber ist dann für ,,minus unendlich'" nicht schon daraus klar das es durch 0 geteilt als ergebnis ,,minus unendlich" rauskommt?
welchen schritt sollte man sonst anwenden?
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Hallo Phil,
> hallo marius,
> erstmal danke...
>
> aber ist dann für ,,minus unendlich'" nicht schon daraus
> klar das es durch 0 geteilt als ergebnis ,,minus unendlich"
> rauskommt?
Genau. Aber nur, weil [mm] e^{x} [/mm] > 0 für alle x. Deswegen weißt du, dass der Nenner dann auch "von oben" gegen 0 geht, also immer positiv bleibt.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Phil1987 |
| Aufgabe | | x hoch 2 mal e hoch x / e hoch2x - x |
danke und wie sind diese ableitungsregeln mit e?
ich verstehe nicht was bleibt wo und wann im nenner/zähler
z.b. bei der aufgabe oben soll jeweils für +/- unendlich ,,0plus" rauskommen
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Hallo,
> x hoch 2 mal e hoch x / e hoch2x - x
> danke und wie sind diese ableitungsregeln mit e?
>
> ich verstehe nicht was bleibt wo und wann im
> nenner/zähler
>
> z.b. bei der aufgabe oben soll jeweils für +/- unendlich
> ,,0plus" rauskommen
Zunächst wäre es gut, wenn du dich mit unserem Formeleditor (Unter dem Eingabefeld!) vertraut machen würdest. Ich denke, wenige hier wollen mutmaßen, was für eine Funktion gemeint ist.
Ich mutmaße mal:
[mm] \lim_{x\to +/- \infty} \frac{x^{2}*e^{x}}{e^{2*x}-x}
[/mm]
Hier hast du also [mm] \frac{\infty}{\infty} [/mm] vorliegen.
Dabei ist deine Funktion im Zähler: $f(x) = [mm] x^{2}*e^{x}$, [/mm] und deine Funktion im Nenner: $g(x) = [mm] e^{2*x}-x$.
[/mm]
Und es gilt nun eben hier: [mm] $\lim_{x\to\infty}f(x) [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}g(x) [/mm] = [mm] \infty.$
[/mm]
Dann sagt der Satz von L'Hopital: Wenn [mm] \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] existiert (und diverse andere, jetzt nicht so wichtige Forderungen), dann gilt
[mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
[/mm]
Du hast nun als erstes also die Ableitungen f'(x) und g'(x) zu bilden, und dann den Grenzwert
[mm] \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
zu untersuchen. Wenn du bei diesem wieder auf die Form [mm] \frac{\infty}{\infty}oder [/mm] 0/0 kommst, kannst du wieder versuchen, L'Hopital zu benutzen. Dabei darfst du Zähler- und Nenner-Funktion wieder völlig beliebig neu wählen, du musst also nicht zwangsweise f'(x) und g'(x) als diese benutzen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Phil1987 |
das ist ja gerade mein problem..ich weis nicht wie ich die ableitung davon bilden soll..die allgemeinen regeln sind mir ja bekannt...aber es ist die frage wie die funktion nach den ableitungen aussieht.
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Hallo Phil,
> das ist ja gerade mein problem..ich weis nicht wie ich die
> ableitung davon bilden soll..die allgemeinen regeln sind
> mir ja bekannt...aber es ist die frage wie die funktion
> nach den ableitungen aussieht.
Nun, wenn Stefan recht hat, lautet die Funktion [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2\cdot{}e^x}{e^{2x}-x}$
[/mm]
Du musst Zähler und Nenner getrennt ableiten.
Berechne $f'(x)$ mit der Produktregel ...
Das ist nicht schwer
Und $g'(x)$ mit Hilfe der Summen- und Kettenregel
Du sagst, dass du die Regeln kennst, also mache dich mal an die beiden Ableitungen.
Nachher setzt du sie einfach als Quotient zusammen [mm] $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ [/mm] und untersuchst das Grenzverhalten für diesen Quotienten ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Phil1987 |
ergibt für mich leiter keinen sinn die produktregel anzuwenden...meiner ansicht nach wäre das was im zähler mit e mulitpliziert wird ein konstanter faktor und dann kommt man i-wie nicht auf die lösung
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Hallo nochmal,
> ergibt für mich leiter keinen sinn die produktregel
> anzuwenden...meiner ansicht nach wäre das was im zähler
> mit e mulitpliziert wird ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> ein konstanter faktor und dann
> kommt man i-wie nicht auf die lösung
Welche ??
Ist denn der Term, den wir hier vermuten, korrekt?
Also im Zäher [mm] $x^2\cdot{}e^x$ [/mm] ??
Wenn dem so ist, wird das [mm] x^2 [/mm] doch nicht mit e multipliziert, sondern mit [mm] $e^{\red{x}}$
[/mm]
Das ist doch wohl die e-Funktion in Abhängigkeit von x, also keine Konstante ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mo 01.02.2010 | | Autor: | Phil1987 |
ja is schon richtig....aber mir gehts darum mal eine rechnung komplett zu sehen um auf das ergebnis zu kommen damit ich es vielleicht mal verstehe...in der schule schreiben wir immer gleich die lösung hin und haben keine zeit zum rechnen..
ganze theoretisch wissen bringt mir nichts wenn ich nciht mal ein ausführliches rechenbeispiel habe und daran mal die anderen ähnlichen aufgaben lösen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Di 02.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wir rechnen nicht vor, sondern helfen dir.
[mm] x^2*e^x=g(x)*h(x) [/mm] mit [mm] g(x)=x^2 [/mm] und [mm] h(x)=e^x [/mm] bilde g' und h'
Produktregel :
(g*h)'=g'h+hg'
warum machst du das nicht?
Und wir kontrollieren!
Gruss leduart
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