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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:31 Sa 11.02.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | | Finden Sie eine Funktion f [mm] \in L^{2} [/mm] ((0, [mm] \infty)), [/mm] welche nicht in [mm] L^{4} [/mm] ((0, [mm] \infty)) [/mm] liegt. |
Also es soll eine Funktion sein, so dass gilt
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{0}^{b}{|f(x)|^ {2}dx} [/mm] < [mm] \infty [/mm] aber
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{0}^{b}{|f(x)|^ {4}dx} \to \infty [/mm]
Ich denke, es muss eine einfache Funktion sein, komme aber nicht weiter.
Könnte mir jemand bitte bei dieser Aufgabe paar Tipps geben?
Bin im voraus sehr dankbar.
Viele Grüße
Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Sa 11.02.2006 | | Autor: | SEcki |
> Finden Sie eine Funktion f [mm]\in L^{2}[/mm] ((0, [mm]\infty)),[/mm] welche
> nicht in [mm]L^{4}[/mm] ((0, [mm]\infty))[/mm] liegt.
> Also es soll eine Funktion sein, so dass gilt
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{0}^{b}{|f(x)|^ {2}dx}[/mm]
> < [mm]\infty[/mm] aber
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{0}^{b}{|f(x)|^ {4}dx} \to \infty[/mm]
Naja, 0 könnte jka auch eine kritische Grenze sein ... (und dann kann man ab 1 abschneiden, also die Funktion auf 0 setzen)
> Könnte mir jemand bitte bei dieser Aufgabe paar Tipps
> geben?
Probiere mal mit obigen und [m][mm] x^{-a}/m] [/mm] etwas rum. Was passiert gegen 0? Was weiss man für [m]a=1,a>1,a<1[/m]?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Sa 11.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo SEcki,
vielen Dank für Deine Antwort.
Was ist aber m ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 11.02.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
das "m" wird wohl eher durch das fehlen einer öffnenden klammer dahin gekommen sein. er meint wohl schon die funktionen [m] x^{-\alpha} = \frac{1}{x^\alpha} [/m]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 11.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo,
wenn ich eine Fallunterscheidung mache, dann kriege ich folgendes raus:
a=1 : [mm] \integral_{0}^{ \infty}{f(x)^{2} dx} \to \infty
[/mm]
gleiche kommt für a>1 bzw. a< 1
Also liegt f nicht in [mm] L^{2}
[/mm]
Ich habe auch nicht ganz verstanden was du mit dem "Abschneiden" meinst :-(
Noch einen kleinen Tipp vielleicht?
Danke, danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Sa 11.02.2006 | | Autor: | andreas |
hallo
das das integral divergiert liegt aber für [mm] $\alpha [/mm] > 1$ und [mm] $\alpha [/mm] < 1$ an verscheidenem. einmal wächst die stammfunktion für $x [mm] \to [/mm] 0$ und einmal für $x [mm] \to \infty$ [/mm] über alle grenzen. mit abschneiden war wohl gemeient: nimm diese funktion für $1$ bis [mm] $\infty$ [/mm] und setze sie zwischen 0 und 1 auf 0. alternativ kannst du es auch mal mit funktionen vom typ $(x + [mm] 1)^\alpha$ [/mm] probieren.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Sa 11.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Andreas,
vielen vielen Dank für Dine Antwort.
Trotzdem verstehe ich nicht ganz: Warum dürfen wir Integrationsbereich abschneiden?
Ich habe mit der Funktion [mm] (x+1)^{a} [/mm] probiert. Ich habe gekriegt, dass für a= -1 und a>-1 liegt f sowohl in [mm] L^{2} [/mm] als auch in [mm] L^{4}, [/mm] für a<-1 liegt f nicht mal in [mm] L^{2} [/mm] .
Leider sehe ich aber nicht was ich falsch mache :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Sa 11.02.2006 | | Autor: | andreas |
hi
ich habe deine ursprüngliche frage leider falsch gelesen, deshalb gingen meine tipps bisher leider immer in die falsche richtung (so kannst du eine funktion finden, die im [mm] $L^4$, [/mm] aber nicht im [mm] $L^2$ [/mm] liegt). in diesem fall könnte man es etwa mit
[m] f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x^\frac{1}{4}} & \textrm{ falls } x \in (0,1] \\ 0 & \textrm{ sonst} \end{cases} [/m]
versuchen.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 11.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Das heisst,
[mm] \integral_{0}^{ \infty}{f(x)^{2} dx}= [/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{1\ \wurzel{x} dx} [/mm] + [mm] \integral_{1}^{ \infty}{0 dx} [/mm] = 2 < [mm] \infty
[/mm]
aber [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x)^4 dx} [/mm] = [mm] \infty [/mm] (da [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] ln(x)= [mm] \infty)
[/mm]
also f liegt in [mm] L^{2} [/mm] aber nicht in [mm] L^{4}. [/mm] Super 
Ein Beispiel für die Funktion, die in [mm] L^{4} [/mm] aber nicht in [mm] L^{2} [/mm] liegt wäre dann:
f(x) = 0, falls x [mm] \in [/mm] (0,1]
x^ {-0,5} , sonst
Wäre es richtig?
Vielen vielen Dank für Deine Hilfe.
Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Sa 11.02.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Das heisst,
>
> [mm]\integral_{0}^{ \infty}{f(x)^{2} dx}=[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{1}{1\ \wurzel{x} dx}[/mm] + [mm]\integral_{1}^{ \infty}{0 dx}[/mm]
> = 2 < [mm]\infty[/mm]
> aber [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x)^4 dx}[/mm] = [mm]\infty[/mm] (da
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}[/mm] ln(x)= [mm]\infty)[/mm]
(hier ist $n = x$?)
> also f liegt in [mm]L^{2}[/mm] aber nicht in [mm]L^{4}.[/mm] Super
genau.
> Ein Beispiel für die Funktion, die in [mm]L^{4}[/mm] aber nicht in
> [mm]L^{2}[/mm] liegt wäre dann:
>
> f(x) = 0, falls x [mm]\in[/mm] (0,1]
> x^ {-0,5} , sonst
> Wäre es richtig?
richtig.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 11.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Vielen Dank für Deine Hilfe, Andreas!
Du hast mir sehr weitergeholfen.
Viele Grüße
Elena
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