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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mo 10.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
Hallo,
ich habe ein Problem bei der LaPlace-Transformation. Dieses Problem tritt auf, sobald ich die Nullstellen des Nenners bestimmen will, die notwendig für eine Partialbruchzerlegung sind.
Dann komm ich bei manchen Aufgaben zu Termen wie: [mm] (s^{2}+4)(s-1)(s-1) [/mm] oder [mm] (s^{2}+1)(s-1)(s-1).
[/mm]
Für die beiden hinteren Klammerausdrücke liegt jeweils die Nullstelle bei 1. Aber wie verhält sich das für die erste Klammer? Oder muss ich hierbei erst alle Klammern auflösen und die erste Nullstelle durch ausprobieren bestimmen??
Anderes Problem:
Bei 4 Nullstellen gibt es eine doppelte Nullstelle bei 1.
Das Problem mit dem Aufstellen des linearen Gleichungssystems ist nun, dass ich 2mal den Wert für eine Variable errechne (genommen hab ich ABCD), aber dann für eine Variable keinen Wert bestimmen kann mit den Nullstellenwerten.
Setze ich nun einen beliebigen Wert ein, kann ich zwar durch einsetzen des vorherberechneten für die anderen 3 Variablen auch meine vierte bestimmen, nur dieser Wert scheint augenscheinlich falsch zu sein :(
Gibt es dort noch ein anderes Prinzip?
mfg
FHTUning
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo FHTuning,
> Hallo,
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> ich habe ein Problem bei der LaPlace-Transformation. Dieses
> Problem tritt auf, sobald ich die Nullstellen des Nenners
> bestimmen will, die notwendig für eine
> Partialbruchzerlegung sind.
>
> Dann komm ich bei manchen Aufgaben zu Termen wie:
> [mm](s^{2}+4)(s-1)(s-1)[/mm] oder [mm](s^{2}+1)(s-1)(s-1).[/mm]
> Für die beiden hinteren Klammerausdrücke liegt jeweils
> die Nullstelle bei 1. Aber wie verhält sich das für die
> erste Klammer? Oder muss ich hierbei erst alle Klammern
> auflösen und die erste Nullstelle durch ausprobieren
> bestimmen??
Dann wirst du bis genau zu der gleichen Stelle kommen wie jetzt. Die Gleichung [mm] s^2+4=0 [/mm] hat zwei Lösungen aus den komplexen Zahlen. Du kannst hier z.B. den Ansatz: Ks+P nehmen, dann brauchst du [mm] s^2+4 [/mm] nicht auflösen.
[mm] \bruch{1}{(s^2+4)*(s-1)*(s-1)}=\bruch{Ks+P}{s^2+4}+\bruch{A}{s-1}+\bruch{B}{(s-1)^2}
[/mm]
>
> Anderes Problem:
> Bei 4 Nullstellen gibt es eine doppelte Nullstelle bei 1.
siehe oben 
> Das Problem mit dem Aufstellen des linearen
> Gleichungssystems ist nun, dass ich 2mal den Wert für eine
> Variable errechne (genommen hab ich ABCD), aber dann für
> eine Variable keinen Wert bestimmen kann mit den
> Nullstellenwerten.
>
> Setze ich nun einen beliebigen Wert ein, kann ich zwar
> durch einsetzen des vorherberechneten für die anderen 3
> Variablen auch meine vierte bestimmen, nur dieser Wert
> scheint augenscheinlich falsch zu sein :(
>
> Gibt es dort noch ein anderes Prinzip?
>
> mfg
>
> FHTUning
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 10.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
Es tut mir leid, ich weiß´leider nicht, was damit gemeint ist. In den Büchern kann ich leider auch nichts dazu finden.
Könntest du dich ein wenig präziser ausdrücken, bzw. einen Schritt mir das weiter vorrechnen`?
mfg
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Hallo FHTuning,
> Es tut mir leid, ich weiß´leider nicht, was damit gemeint
> ist. In den Büchern kann ich leider auch nichts dazu
> finden.
>
> Könntest du dich ein wenig präziser ausdrücken, bzw.
> einen Schritt mir das weiter vorrechnen'?
Wir haben ja
[mm]\bruch{1}{(s^2+4)\cdot{}(s-1)\cdot{}(s-1)}=\bruch{Ks+P}{s^2+4}+\bruch{A}{s-1}+\bruch{B}{\left(s-1\right)^2}[/mm]
Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt:
[mm]\bruch{1}{(s^2+4)\cdot{}(s-1)\cdot{}(s-1)}=\bruch{\left(Ks+P\right)*\left(s-1\right)^{2}+A*\left(s^{2}+4\right)*\left(s-1\right)+B*\left(s^{2}+4\right)}{(s^2+4)\cdot{}(s-1)\cdot{}(s-1)}[/mm]
Nun vergleicht Du das Polynom
[mm]\left(Ks+P\right)*\left(s-1\right)^{2}+A*\left(s^{2}+4\right)*\left(s-1\right)+B*\left(s^{2}+4\right)[/mm]
mit dem Polynom
[mm]0*s^{3}+0*s^{2}+0*s+1[/mm]
indem Du ersteres Polynom ausmultiplizierst,
und einen ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich durchführst.
Dies führt dann in aller Regel zu einem linearen Gleichungssystem.
>
> mfg
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Mo 10.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
Vielen Dank, damit wurde es mir deutlich klarer!!
DANKE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Di 11.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
Dieses Verfahren klappte bisher sehr gut, nur nun bin ich an einen Punkt angekommen, bei dem ich die Form:
[mm] Y(s)=\bruch{2}{(s-1)^{3}*(s-2)^{2}} [/mm] habe.
Hier sind ja 5 Nullstellen vorhanden, jeweils 3 bei 1 und zwei bei 2.
Wenn ich das jetzt versuche mit dem Koeffizientenvergleich aufzulösen komme ich auf einen riesigen Term, der sich nachher im Gleichungssystem selber kürzt!!
Diese Aufgabe kam in 6 Jahren erst 2mal dran, aber ich würde dennoch gerne die Logik dahinter verstehen.
Allgemein: Was mache ich wenn ich alle Nullstellen bestimmen kann, sich aber doppelte oder mehrfache Nullstellen an einem Punkt befinden?? Wie setze ich das in die zuvor genannte Form ein??
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Di 11.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Dieses Verfahren klappte bisher sehr gut, nur nun bin ich
> an einen Punkt angekommen, bei dem ich die Form:
>
> [mm]Y(s)=\bruch{2}{(s-1)^{3}*(s-2)^{2}}[/mm] habe.
>
> Hier sind ja 5 Nullstellen vorhanden, jeweils 3 bei 1 und
> zwei bei 2.
Dann lautet dein Ansatz wie folgt:
[mm] \bruch{2}{(s-1)^{3}*(s-2)^{2}}=\bruch{A}{s-1}+\bruch{B}{(s-1)^2}+\bruch{C}{(s-1)^3}+\bruch{D}{s-2}+\bruch{E}{(s-2)^2}
[/mm]
Eine kleine Erklärung dazu findest du hier:  Partialbruchzerlegung
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 11.08.2009 | | Autor: | FHTuning |
Danke,
die Form der Partialbruchtzerlegung war mir schon bekannt.
Mein Problem ist dass ich 6 lineare Gleichungssysteme aufstellen muss, wovon sich beim Einsetzen manche komplett auslöschen.
Kann mir da jemand helfen??
ich hatte gehofft es würde sich um einen anderen Ansatz hier handeln.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Di 11.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo FHTuning,
> Danke,
>
> die Form der Partialbruchtzerlegung war mir schon bekannt.
>
> Mein Problem ist dass ich 6 lineare Gleichungssysteme
> aufstellen muss, wovon sich beim Einsetzen manche komplett
> auslöschen.
ich habe das gerade mal durchgespielt:
$ [mm] \bruch{2}{(s-1)^{3}\cdot{}(s-2)^{2}}=\bruch{A}{s-1}+\bruch{B}{(s-1)^2}+\bruch{C}{(s-1)^3}+\bruch{D}{s-2}+\bruch{E}{(s-2)^2} [/mm] $
Wenn ich mit dem Hauptnenner erweitere, dann erhalte ich auf der rechten Seite:
[mm] $A(s-1)^2(s-2)^2\ [/mm] =\ [mm] 1*As^4-6*As^3+13*As^2-12*As+4*A$
[/mm]
[mm] $B(s-1)(s-2)^2\ [/mm] =\ [mm] 1*Bs^3-5*Bs^2+8*Bs-4*B$
[/mm]
[mm] $C(s-2)^2\ [/mm] =\ [mm] 1*Cs^2-4*Cs+4*C$
[/mm]
[mm] $D(s-1)^3(s-2)\ [/mm] =\ [mm] 1*Ds^4-5*Cs^3+9*Ds^2-7*Ds+2*D$
[/mm]
[mm] $E(s-1)^3\ [/mm] =\ [mm] 1*Es^3-3*Es^2+3*Es-1*E$
[/mm]
Für die Koeffizienten bedeutet das:
[mm] 0*s^4=(A+D)*s^4
[/mm]
[mm] 0*s^3=(-6A+B-5D+E)*s^3
[/mm]
[mm] 0*s^2=(13A-5B+C+9D-3E)*s^2
[/mm]
[mm] 0*s^1=(-12A+8B-4C-7D+3E)*s^1
[/mm]
[mm] 2*s^0=(4A-4B+4C+2D-E)*s^0
[/mm]
Fünf Gleichungen, fünf Unbekannte und das System ist lösbar, weil Rang(A)=Rang(A|b)
Vergleich' mal mit deinen Werten, vielleicht hast du irgendwo ein anderes Vorzeichen.
Lg
Herby
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