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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:09 Do 08.09.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo,
ich habe die Aufgabe das ich die Aufladung eines Kondensators in einem Reihenschaltkreis - bestehen aus Widerstand R und Kondensator C mit Schalter und Spannungsquelle - beschreiben soll.
Als erstes habe ich die Gleichung: [mm] U=U_{C}+U_{R}
[/mm]
wobei [mm] U_{C}=\bruch{Q}{C} [/mm] und [mm] U_{R}=R*I [/mm] ist
Wenn ich dies nun ableite erhalte ich:
[mm] \bruch{dQ}{dt}*\bruch{1}{C}+R*\bruch{dI}{dt}=0
[/mm]
[mm] \bruch{dQ}{dt}=I
[/mm]
[mm] \bruch{I}{C}+R*\bruch{dI}{dt}=0
[/mm]
daraus kann ich dann die homogene Lösung bilden
[mm] y_{h}=K_{1}*e^{\bruch{-t}{C*R}} [/mm]
und die partikuläre
[mm] y_{p}=K(t)*e^{\bruch{-t}{C*R}}
[/mm]
[mm] y_{p}'=K(t)'*e^{\bruch{-t}{C*R}}-K(t)*\bruch{e^{\bruch{-t}{C*R}}}{C*R}
[/mm]
dies dann eingesetzt in [mm] \bruch{I}{C}+R*\bruch{dI}{dt}=0 [/mm] ergibt
[mm] \bruch{K(t)*e^{\bruch{-t}{C*R}}}{C}+R*[K(t)'*e^{\bruch{-t}{C*R}}-K(t)*\bruch{e^{\bruch{-t}{C*R}}}{C*R}]=0
[/mm]
dann gekürzt kommt
[mm] K'(t)*e^{\bruch{-t}{C*R}}*R=0 [/mm] heraus
kann ich an dieser Stelle nun sagen das K'(t)=0 ist, weil ich ja nach K'(t) umstellen und dann integrieren muss? Wobei die partikuläre Lösung dann ja Null werden würde... Und ich habe ja noch die Anfangsbedingung das t=0 ist... wenn also [mm] y_{p}=0 [/mm] dann ist [mm] y=y_{h} [/mm] und y(0) wäre nicht das, was rauskommen sollte. Folglich muss ich irgendwo einen Fehler gemacht haben. Und ich kann K(t)' nicht gleich Null setzen.
Für einen Tipp wo der Fehler steckt, wäre ich dankbar!
Grüße kruder77
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Do 08.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo mal wieder, lange nichts gehört
Erst mal die Gleichung hast du richtig aufgestellt!> Als erstes habe ich die Gleichung: [mm]U=U_{C}+U_{R}[/mm]
>
> wobei [mm]U_{C}=\bruch{Q}{C}[/mm] und [mm]U_{R}=R*I[/mm] ist
>
> Wenn ich dies nun ableite erhalte ich:
So hier ist die 1. Fhler quelle: nachdem du differenziert hast, hast du Information verloren! U=cons ist weg. du kannst also jetzt nicht mehr zwischen Aufladen UR+UC=U und Entladen UR+UC=0 unterscheiden. Andrs gesagt, du kannst jetzt die bekannten Anfangsbed. [mm] Q_{C}=0 [/mm] nicht mehr verwenden, sondern musst mit I(0) anfangen. da musst du dann dein Vorwissen , dass die Anfangsspannung an R U ist einsetzen und I(0)=U/R einsetzen. Seis drum!
> [mm]\bruch{dQ}{dt}*\bruch{1}{C}+R*\bruch{dI}{dt}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{dQ}{dt}=I[/mm]
>
> [mm]\bruch{I}{C}+R*\bruch{dI}{dt}=0[/mm]
Das ist eine HOMOGENE Dgl!!!
>
> daraus kann ich dann die homogene Lösung bilden
>
> [mm]I_{h}(t)=K_{1}*e^{\bruch{-t}{C*R}}[/mm]
und du bist fertig, mit I(0)=U/R folgt [mm] I(t)=U/R*e^{\bruch{-t}{C*R}}
[/mm]
> und die partikuläre
Wenn du unbedingt ne Partikuläre Lösung willst I(t)=0 erfüllt die Dgl.!
Damit du aber siehst, dass mathe immer funktioniert, kann man auch mit der "Inhomogenität " g(t)=0
rechnen! und da hast du richtig weiter gerechnet. bis siehe unten:
> [mm]y_{p}=K(t)*e^{\bruch{-t}{C*R}}[/mm]
>
> [mm]y_{p}'=K(t)'*e^{\bruch{-t}{C*R}}-K(t)*\bruch{e^{\bruch{-t}{C*R}}}{C*R}[/mm]
>
> dies dann eingesetzt in [mm]\bruch{I}{C}+R*\bruch{dI}{dt}=0[/mm]
> ergibt
>
> [mm]\bruch{K(t)*e^{\bruch{-t}{C*R}}}{C}+R*[K(t)'*e^{\bruch{-t}{C*R}}-K(t)*\bruch{e^{\bruch{-t}{C*R}}}{C*R}]=0[/mm]
>
> dann gekürzt kommt
>
> [mm]K'(t)*e^{\bruch{-t}{C*R}}*R=0[/mm] heraus
>
> kann ich an dieser Stelle nun sagen das K'(t)=0 ist, weil
> ich ja nach K'(t) umstellen und dann integrieren muss?
Ja, kannst du!!
> Wobei die partikuläre Lösung dann ja Null werden würde...
NEIN! K'=0 folgt K(t)=const! das wussten wir eigentlich schon oben, aber du siehst, auf die Mathe ist verlass, auch wenn man unnötige Umwege geht!
> Und ich habe ja noch die Anfangsbedingung das t=0 ist...
Das ist nicht die Anfangsbed. sondern der Wert von I bei t=0
> Für einen Tipp wo der Fehler steckt, wäre ich dankbar!
Den hast du jetzt. Übrigens wäre mit Q'=I deine Dgl für Q wirklich inhomogen gewesen :
Q/C+R*Q'=U oder wegen [mm] U_{C}=Q/C [/mm] : [mm] U_{C}'+R*C* U_{C}=U
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Fr 09.09.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo Leduart,
ja dass stimmt ist ne "Ewigkeit" her  ...
na ich wollte mit der Rechnung nicht zu dem Ergebniss I= [mm] \bruch{U}{R}*e^{-\bruch{t}{RC}} [/mm] kommen sondern zu [mm] U_{C}=U[1-e^{-\bruch{t}{RC}}] [/mm] weil im Buch zwar die homogene DGL aufgestellt wurde aber kein einziger Schritt dargestellt wurde sondern nur das Ergebniss...
Grüße kruder77
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Sa 10.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh die Frage nicht, ich hab dir doch die INHOMOGENE Dgl. für U geschrieben!
Lösung der hom. wie für I; partikuläre Lösung der [mm] inh.U_{C}(t)=const=U
[/mm]
Ausserdem hast du doch selbst geschrieben [mm] U=U_{C}+I*R [/mm] und das kannst du doch wohl nach [mm] U_{C} [/mm] auflösen und dein I einstzen!!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Sa 10.09.2005 | | Autor: | kruder77 |
Hallo leduart,
> Ausserdem hast du doch selbst geschrieben [mm]U=U_{C}+I*R[/mm] und
> das kannst du doch wohl nach [mm]U_{C}[/mm] auflösen und dein I
> einstzen!!
das man das einfach so umstellen kann war mir nicht bewusst, werde es also nachher in ruhe ausprobieren....
Gruß kruder
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