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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Länge der Durch die folgende Funktion gegebene Kurve.
[mm] \gamma(t):=(t*cos(t), t^{2}, t*sin(t))^{T} [/mm] für [mm] t\in[0,b] [/mm] mit einem [mm] b\in(0,\infty). [/mm] |
Hallo :D
Ich habe leider nicht den blassesten Schimmer wie ich diese Aufgabe angehen soll, ich hoffe mir kann jemand helfen :D
LG
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Hallo,
ist das jetzt dein Ernst: du kannst nicht in eine Formelsammlung reinsehen, um die Bogenlänge einer parametrisierten Kurve nachzuschlagen:
[mm] s=\int_{T_1}^{T_2}{\wurzel{(x')^2+(y')^2+(z')^2}dt}
[/mm]
Leute,Leute...
Gruß, Diophant
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Grüß dich,
also es geht hier, wie Diophant schon sagte, um die Bogenlänge.
Dabei gilt folgendes:
Sei [mm] \gamma:\IR\ni[a,b]\to\IR^n [/mm] eine diffbare Kurve. Dann ist die Länge wie folgt definiert:
[mm] L(\gamma)=\int_\gamma{ds}=\int_a^b\Vert\dot{\gamma}(t)\Vert{dt}
[/mm]
Was ist nun dein Job?
1. Ableitung der Kurve bilden
2. Die Norm des entstehenden Vektors bilden.
3. Das Integral auswerten.
Meld dich, wenn weitere Fragen aufkommen.
Liebe Grüße!
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Ich hab das jetzt mal versucht, bin aber eher skeptisch ob das stimmt und im Endeffekt auch an der Integration gescheitert ...
zu 1.)
Ableitung:
[mm] \gamma'(t)=(cos(t)-t*sin(t), [/mm] 2t, sin(t)+t*cos(t))
zu 2.)
Norm:
[mm] \wurzel{(cos(t)-t*sin(t))^{2}+(2t)^{2}+(sin(t)+t*cos(t))^{2}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{cos^{2}(t)+t^{2}*cos^{2}(t)+sin^{2}(t)+t^{2}*sin^{2}(t)+4t^{2}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{1+5t^{2}}
[/mm]
zu 3.)
Integrieren:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\wurzel{1+5t^{2}}}
[/mm]
Ich weis allerdings wie ich das integrieren kann, bekomms leider nicht hin :/
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Do 29.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Es scheint als wäre für dich [mm] $(a+b)^2=a^2+b^2$
[/mm]
Edit: Ah, du hast es einfach direkt zusammengefasst, okay. Hatte das zu erst nicht gesehen.
Wie setzt du denn für die integration an?
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Hi,
> Ich hab das jetzt mal versucht, bin aber eher skeptisch ob
> das stimmt und im Endeffekt auch an der Integration
> gescheitert ...
>
> zu 1.)
> Ableitung:
> [mm]\gamma'(t)=(cos(t)-t*sin(t),[/mm] 2t, sin(t)+t*cos(t))
>
> zu 2.)
> Norm:
>
> [mm]\wurzel{(cos(t)-t*sin(t))^{2}+(2t)^{2}+(sin(t)+t*cos(t))^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{cos^{2}(t)+t^{2}*cos^{2}(t)+sin^{2}(t)+t^{2}*sin^{2}(t)+4t^{2}}[/mm]
> [mm]=\wurzel{1+5t^{2}}[/mm]
Das passt soweit.
>
> zu 3.)
> Integrieren:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\wurzel{1+5t^{2}}}[/mm]
Bedenke, dass du nur bis b integrierst.
Substitutionen könnten für das Integral hilfreich sein.
> Ich weis allerdings wie ich das integrieren kann, bekomms
> leider nicht hin :/
>
> LG
>
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ICh finde leider irgendwie nichts. womit ich dieses Integral substituieren kann, also der term unter der wurzel geht schon mal nicht und [mm] t^{2} [/mm] auch nicht ... Aber was soll ich dann substituieren ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Fr 30.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> ICh finde leider irgendwie nichts. womit ich dieses
> Integral substituieren kann, also der term unter der wurzel
> geht schon mal nicht und [mm]t^{2}[/mm] auch nicht ... Aber was soll
> ich dann substituieren ??
[mm] \wurzel{5}t=\sinh(s)
[/mm]
FRED
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Ich habs leider immer noch nicht ...
Also ich habe jetzt ja [mm] sinh(s)=\wurzel{5}t
[/mm]
dann wäre [mm] \bruch{dt}{ds}= [/mm] cosh(s) [mm] \gdw [/mm] dt=cosh(s)ds
Also ist mein Integral nun:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{1+(sinh(s))^{2}*cosh(s) ds}} [/mm]
Stimmt das soweit?
Doch wie kann ich nun damit weiterrechnen??
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Hallo,
> Ich habs leider immer noch nicht ...
> Also ich habe jetzt ja [mm]sinh(s)=\wurzel{5}t[/mm]
> dann wäre [mm]\bruch{dt}{ds}=[/mm] cosh(s) [mm]\gdw[/mm] dt=cosh(s)ds
> Also ist mein Integral nun:
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{1+(sinh(s))^{2}*cosh(s) ds}}[/mm]
> Stimmt das soweit?
Nein, denn was hat hier der Kosinus hyperbolicus unter der Wurzel zu suchen?
> Doch wie kann ich nun damit weiterrechnen??
Weißt du denn, für was die Symbole sinh bzw. cosh stehen? Falls du es wüsstest, dann wäre dir folgende Identität unmittelbar klar:
[mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1
[/mm]
Mit dieser Identität vereinfacht man den Radikand und das Integral wird dann ziemlich einfach.
Ich gestatte mir erneut, meine Verwunderung darüber zum Ausdruck zu bringen, dass so etwas nicht selbst nachgeschlagen wird. Wenn man studiert, dann ist man doch eigentlich auf so etwas total neugierig, oder ist das heutzutage anders? 
Gruß, Diophant
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Diese Regel hab ich auch schon gefunden gehabt, mein Problem ist jetzt, dass ich keine Form bekomme bei der ich die Regel anwenden kann ...
Wenn ich cosh(x) nich unter die Wurzel ziehe, dann habe ich doch
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{cosh^{2}(s)+sinh^{2}(x)cosh^{2}(s)}ds} [/mm] Ich verstehe echt nicht was ich falsch mache :/
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Hallo,
du bist schon hartnäckig im ignorieren von Tipps:
[mm] cosh^2(x)-sinh^2(x)=1\gdw
[/mm]
[mm] cosh^2(x)=1+sinh^2(x)
[/mm]
Jetzt sollte dir die rechte Seite bekannt vorkommen?
Ich wiederhole meinen Tipp, den cosh, der von der Substitution herrührt, nicht unter die Wurzel zu ziehen.
Auch hat es sich im Lauf der Jahre herausgestellt, dass es statistisch gesehen klug ist, die Tipps, welche man auf Nachfrage in einem Matheforum bekommt, auch tatsächlich auszuprobieren...
Gruß, Diophant
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Upps, das war blöd von mir ...
ICh hab dann mal versucht das Integral auszuwerten, mein Ergebnis ist:
0,5*cosh(s)*sinh(s)+0,5s
Jetzt hatte ich ja am Anfang meine Grenzen 0 und b, ich weis jetzt aber nicht genau wie ich diese einsetzen soll...
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Hallo,
> Upps, das war blöd von mir ...
> ICh hab dann mal versucht das Integral auszuwerten, mein
> Ergebnis ist:
> 0,5*cosh(s)*sinh(s)+0,5s
Da scheint mir überall - also bei jedem Summanden - noch der Faktor [mm]\frac{1}{\sqrt 5}[/mm] zu fehlen...
> Jetzt hatte ich ja am Anfang meine Grenzen 0 und b, ich
> weis jetzt aber nicht genau wie ich diese einsetzen soll...
>
Nun, entweder rechnest du die ursprünglichen Grenzen (die in t gegeben sind) bei der Substitution mit um in Grenzen, ausgedrückt in s oder du machst zunächst eine Resubstitution des erhaltenen und nochmal zu kontrollierenden Ausdrucks zurück in die Variable t und setzt die ursprünglichen Grenzen [mm]t=0[/mm] und [mm]t=b[/mm] ein ...
Gruß
schachuzipus
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