Länge der log. Spirale < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Für b>0 und R>0 sei die Kurve [mm] \gamma: [R^{2} [/mm] -> [mm] R^{2} [/mm] gegeben durch
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] exp(-Rt)(cost,sint)^{T}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,b].
Diese Kurve heißt logarithmische Spriale.
Berechnen Sie die Länge der Kurve [mm] \gamma. [/mm] Wie ist der Grenzwert der Länge für b -> [mm] \infty? [/mm] |
Hi,
hier was ich bisher gamacht habe.
[mm] L(\gamma) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{b}{II \gamma'(t) II_{2} dt}
[/mm]
Das soll die Norm sein.
[mm] \gamma'(t) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -e^{-Rt}*cost - e^{-Rt}*sint \\ -e^{-Rt}*sint + e^{-Rt}*cost \end{pmatrix}
[/mm]
II [mm] \gamma'(t) II_{2} =\wurzel{(-e^{-Rt}*cost - e^{-Rt}*sint)^{2} + (-e^{-Rt}*sint + e^{-Rt}*cost)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{(-e^{-Rt}*cost)^{2}-2*(-e^{-Rt}*cost*e^{-Rt}*sint)+(e^{-Rt}*sint)^{2} + (-e^{-Rt}*sint)^{2}-2*(-e^{-Rt}*cost*e^{-Rt}*sint)+(e^{-Rt}*cost)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{2(e^{-Rt}*cost)^{2})+2(e^{-Rt}*sint)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{2}*e^{-Rt}*\wurzel{cost^{2}+sint^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{2}*e^{-Rt}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{b}{\wurzel{2}*e^{-Rt} dt} [/mm] = [mm] [-\wurzel{2}*e^{-Rt}]_{0}^{b}
[/mm]
F(b) - F(0) = [mm] -\wurzel{2}*e^{-Rb} [/mm] - [mm] (-\wurzel{2}*e^{R*0}) [/mm] = [mm] -\wurzel{2}*e^{-Rb} [/mm] + [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} -\wurzel{2}*e^{-Rb} [/mm] + [mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}, [/mm] da [mm] e^{-\infty}=0
[/mm]
Ist das korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für b>0 und R>0 sei die Kurve [mm]\gamma: [R^{2}[/mm] -> [mm]R^{2}[/mm]
> gegeben durch
>
> [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]exp(-Rt)(cost,sint)^{T},[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,b].
>
> Diese Kurve heißt logarithmische Spriale.
> Berechnen Sie die Länge der Kurve [mm]\gamma.[/mm] Wie ist der
> Grenzwert der Länge für b -> [mm]\infty?[/mm]
> Hi,
> hier was ich bisher gamacht habe.
>
> [mm]L(\gamma)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{b}{II \gamma'(t) II_{2} dt}[/mm]
> Das
> soll die Norm sein.
>
> [mm]\gamma'(t)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -e^{-Rt}*cost - e^{-Rt}*sint \\ -e^{-Rt}*sint + e^{-Rt}*cost \end{pmatrix}[/mm]
Wie schon gestern (oder vorgestern ?) ignorierst Du die Kettenregel !
Es ist:
[mm]\gamma'(t)[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} -Re^{-Rt}*cost - e^{-Rt}*sint \\ -Re^{-Rt}*sint + e^{-Rt}*cost \end{pmatrix}[/mm]
Jetzt kannst Du mit der Rechnerei von vorne beginnen ... Oder vielleicht doch nicht ?
Fasse [mm] \gamma [/mm] komplex auf:
[mm] \gamma(t)=e^{(i-R)t}
[/mm]
dann ist [mm] \gamma'(t)=(i-R)e^{(i-R)t}.
[/mm]
Daraus folgt sofort:
[mm] ||\gamma'(t)||=|i-R|*|e^{it}|*e^{-Rt}=\wurzel{R^2+1}*e^{-Rt}.
[/mm]
FRED
>
> II [mm]\gamma'(t) II_{2} =\wurzel{(-e^{-Rt}*cost - e^{-Rt}*sint)^{2} + (-e^{-Rt}*sint + e^{-Rt}*cost)^{2}}[/mm]
> =
> [mm]\wurzel{(-e^{-Rt}*cost)^{2}-2*(-e^{-Rt}*cost*e^{-Rt}*sint)+(e^{-Rt}*sint)^{2} + (-e^{-Rt}*sint)^{2}-2*(-e^{-Rt}*cost*e^{-Rt}*sint)+(e^{-Rt}*cost)^{2}}[/mm]
> = [mm]\wurzel{2(e^{-Rt}*cost)^{2})+2(e^{-Rt}*sint)^{2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2}*e^{-Rt}*\wurzel{cost^{2}+sint^{2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{2}*e^{-Rt}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{2}*e^{-Rt} dt}[/mm] =
> [mm][-\wurzel{2}*e^{-Rt}]_{0}^{b}[/mm]
>
> F(b) - F(0) = [mm]-\wurzel{2}*e^{-Rb}[/mm] - [mm](-\wurzel{2}*e^{R*0})[/mm] =
> [mm]-\wurzel{2}*e^{-Rb}[/mm] + [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} -\wurzel{2}*e^{-Rb}[/mm] +
> [mm]\wurzel{2}[/mm] = [mm]\wurzel{2},[/mm] da [mm]e^{-\infty}=0[/mm]
>
> Ist das korrekt?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
dann mach ich mit dem Integral weiter:
[mm] \integral_{0}^{b}{\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rt} dt} [/mm] = [mm] [-R\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rt}]_{0}^{b} [/mm] = [mm] -R\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rb} [/mm] + [mm] R\wurzel{R^{2}+1}
[/mm]
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty} -R\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rb} [/mm] + [mm] R\wurzel{R^{2}+1} [/mm] = [mm] R\wurzel{R^{2}+1}
[/mm]
Ist das jetzt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> dann mach ich mit dem Integral weiter:
>
> [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rt} dt}[/mm] =
> [mm][-R\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rt}]_{0}^{b}[/mm] =
> [mm]-R\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rb}[/mm] + [mm]R\wurzel{R^{2}+1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty} -R\wurzel{R^{2}+1}*e^{-Rb}[/mm] +
> [mm]R\wurzel{R^{2}+1}[/mm] = [mm]R\wurzel{R^{2}+1}[/mm]
>
> Ist das jetzt richtig?
Ja
FRED
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