Länge einer Kurve < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Länge der Durch die folgende Funktion gegebene Kurve.
$ [mm] \gamma(t):=(t\cdot{}cos(t), t^{2}, t\cdot{}sin(t))^{T} [/mm] $ für $ [mm] t\in[0,b] [/mm] $ mit einem $ [mm] b\in(0,\infty). [/mm] $ |
Hallo,
ich kenne die Formel für die Berechnung einer Kurvenlänge und habe bereits auch die Ableitung der Funktion gebildet.
Ich habe nun folgenden Term :
[mm] |\gamma'(t)|= \wurzel{1+5t^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{b}{\wurzel{1+5t^2} dt} [/mm]
und habe [mm] \wurzel{5}*t [/mm] durch sinh(x) ersetzt.
Den Term den ich nun habe kann ich leider nicht umformen bzw. es fehlt mir der Ansatz dazu.
= [mm] \integral_{0}^{b}{\wurzel{1+sinh^2(x)} dt} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hmm .. so evtl? :
\bruch{dx}{dt}=cosh^2(x) \gdw dt = cosh^2(x)*dx
\Rightarrow
$ \integral_{0}^{b}{\wurzel{1+(sinh(x))^{2}} *cosh^2(x) dx}} $
Sollte ich dann sinh^2(x) durch 1+cosh^2(x) ersetzen oder umgekehrt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Ah, mist. Den leichtesten Weg übersehen!
Wäre der Lösungsweg also so ? :
= $ [mm] \integral_{0}^{b}{\wurzel{1+sinh^2(x)} dt} [/mm] $
= $ [mm] \integral_{0}^{b}{\wurzel{cosh^2(x)} dt} [/mm] $ ( bleibt hier das dt oder muss ich es durch dx ersetzen?
= $ [mm] \integral_{0}^{b}{\wurzel{cosh^2(x)} dt} [/mm] $
= [mm] \integral_{0}^{b}{cosh(x) dt}
[/mm]
= sinh(b) ( das Ergebnis dafür, wenn wir dt in dx umändern würden. )
zweite Lösung : b*cosh(x) , wenn wir dt stehen lassen würden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mo 02.06.2014 | | Autor: | smarty |
Hallo,
> Ah, mist. Den leichtesten Weg übersehen!
>
> Wäre der Lösungsweg also so ? :
>
> = [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{1+sinh^2(x)} dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{cosh^2(x)} dt}[/mm] ( bleibt hier
> das dt oder muss ich es durch dx ersetzen?
dein dt ist schon mindestens seit der Substitution [mm] \wurzel{5}t=\sinh(x) [/mm] weg (hatte ich vorhin nicht angemerkt, hiermit nachgeholt)
> = [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{cosh^2(x)} dx}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{b}{cosh(x) dx}[/mm]
>
> = sinh(b)
edit: ich denke nicht!
Viele Grüße
Smarty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Perfekt.
Um ganz sicher zu gehen :
Wenn ich [mm] 1+sinh^2(x) [/mm] durch [mm] cosh^2(x) [/mm] ersetze, ersetze ich im selben Schritt dt durch dx ohne einer Zwischenrechnung, Zwischenkommentar etc? :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:45 Di 03.06.2014 | | Autor: | smarty |
Hallo,
> Perfekt.
>
> Um ganz sicher zu gehen :
>
> Wenn ich [mm]1+sinh^2(x)[/mm] durch [mm]cosh^2(x)[/mm] ersetze, ersetze ich
> im selben Schritt dt durch dx ohne einer Zwischenrechnung,
> Zwischenkommentar etc? :)
ich bin mir meiner Antworten nicht mehr sicher, da die eigentliche Substitution mit [mm] \sqrt{5}t=\sinh{x} [/mm] wahrscheinlich doch anders ausschaut (Antwort: editiert). Zumindest sagt mein Zettel das 
Ich lass' deine Frage mal offen und warte mit dir auf Weiteres.
Viele Grüße
Smarty
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Hallo,
> Perfekt.
Nix ist perfekt...
>
> Um ganz sicher zu gehen :
>
> Wenn ich [mm] 1+sinh^2(x) [/mm] durch [mm] cosh^2(x) [/mm] ersetze, ersetze ich
> im selben Schritt dt durch dx ohne einer Zwischenrechnung,
> Zwischenkommentar etc?
EDIT: ab hier war mir leider ein Fehler unterlaufen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Ah, mist. Den leichtesten Weg übersehen!
>
> Wäre der Lösungsweg also so ? :
>
> = [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{1+sinh^2(x)} dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{cosh^2(x)} dt}[/mm] ( bleibt hier
> das dt oder muss ich es durch dx ersetzen?
>
> = [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{cosh^2(x)} dt}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{b}{cosh(x) dt}[/mm]
>
> = sinh(b) ( das Ergebnis dafür, wenn wir dt in dx
> umändern würden. )
>
> zweite Lösung : b*cosh(x) , wenn wir dt stehen lassen
> würden.
Wie an anderer Stelle schon gesagt: das ist alles Makulatur. Du musst das Differenzail dx ja ebenfalls auf geeeignete Weise substituieren. Dazu habe ich dir hier eine Atwort geschrieben.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Di 03.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Mist. Gut das Du das noch einmal bemerkt hast!
Habe jetzt einen neuen Lösungsweg aufgestellt und hoffe, dass das so ok ist. Im Vorfeld, es stimmt. Konnte mich noch nicht zu 100% auf das Thema vorbereiten, weil ich krank war. Werde es aber nachholen!
Hier der Lösungsweg :
$ [mm] \Rightarrow \integral_{0}^{b}{\wurzel{1+5t^2} dt} [/mm] $
substituiere : $ [mm] sinh(x)=\wurzel{5}\cdot{}t [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] t=\bruch{1}{\wurzel{5}}sinh(x) \Rightarrow [/mm] $
Ableiten von t nach x : [mm] \bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{\wurzel{5}}cosh(x)
[/mm]
wir erhalten : $ [mm] dx=\bruch{\wurzel{5}}{cosh(x)}dt [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \integral_{0}^{b}{\wurzel{cosh^2(x)} \bruch{\wurzel{5}}{cosh(x)}dt} [/mm] $
[mm] \gdw \integral_{0}^{b}{\wurzel{5} dt}
[/mm]
[mm] \Rightarrow {\wurzel{5}*\integral_{0}^{b} dt}
[/mm]
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Hallo,
> Mist. Gut das Du das noch einmal bemerkt hast!
>
> Habe jetzt einen neuen Lösungsweg aufgestellt und hoffe,
> dass das so ok ist. Im Vorfeld, es stimmt. Konnte mich noch
> nicht zu 100% auf das Thema vorbereiten, weil ich krank
> war. Werde es aber nachholen!
>
> Hier der Lösungsweg :
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{b}{\wurzel{1+5t^2} dt}[/mm]
>
>
> substituiere : [mm]sinh(x)=\wurzel{5}\cdot{}t[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]t=\bruch{1}{\wurzel{5}}sinh(x) \Rightarrow[/mm]
>
> Ableiten von t nach x :
> [mm]\bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{\wurzel{5}}cosh(x)[/mm]
>
> wir erhalten : [mm]dx=\bruch{\wurzel{5}}{cosh(x)}dt[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{cosh^2(x)} \bruch{\wurzel{5}}{cosh(x)}dt}[/mm]
>
Das erhalten wir durchaus nicht! Wenn du ein bestimmtes Integral durch Substítution berechnen möchtest, dann musst du die Grenzen ebenfalls substituieren. Das hat den Vorteil, dass man nach der Integration nicht zurücksubstituieren muss. Eine Alternative wäre es, zunächst unbestimmt zu integrieren und das eigentliche bestimmte Integral dann mit der ermmitelten Stammfunktion zu berechnen.
>
>
> [mm]\gdw \integral_{0}^{b}{\wurzel{5} dt}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow {\wurzel{5}*\integral_{0}^{b} dt}[/mm]
>
Da bist du noch nicht fertig, das muss man (mit den richtigen Grenzen) integrieren!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Di 03.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Wäre es dann folgendes ?
[mm] \wurzel{5} \integral_{0}^{\bruch{sinh(b)}{\wurzel{5}}}{ dt}
[/mm]
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Hallo,
> Wäre es dann folgendes ?
>
> [mm]\wurzel{5} \integral_{0}^{\bruch{sinh(b)}{\wurzel{5}}}{ dt}[/mm]
>
Ja. Und jetzt: ausrechnen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Di 03.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Ergebnis wäre sinh(b) oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Di 03.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ergebnis wäre sinh(b) oder?
Ja.
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Di 03.06.2014 | | Autor: | smarty |
Hallo Zusammen,
ich verstehe grade folgendes nicht:
> Mist. Gut das Du das noch einmal bemerkt hast!
ja! Entschuldige noch einmal!
> Habe jetzt einen neuen Lösungsweg aufgestellt und hoffe,
> dass das so ok ist. Im Vorfeld, es stimmt. Konnte mich noch
> nicht zu 100% auf das Thema vorbereiten, weil ich krank
> war. Werde es aber nachholen!
>
> Hier der Lösungsweg :
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{b}{\wurzel{1+5t^2} dt}[/mm]
>
hier steht ein "dt"
> substituiere : [mm]sinh(x)=\wurzel{5}\cdot{}t[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]t=\bruch{1}{\wurzel{5}}sinh(x) \Rightarrow[/mm]
>
> Ableiten von t nach x :
> [mm]\bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{\wurzel{5}}cosh(x)[/mm]
>
> wir erhalten : [mm]dx=\bruch{\wurzel{5}}{cosh(x)}dt[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{cosh^2(x)} \bruch{\wurzel{5}}{cosh(x)}dt}[/mm]
Warum wird bei einer Substitution das "dt" (siehe oben) mit einem "dt" (siehe hier) ersetzt, obwohl die 'neue' Integrationsvariable "x" heißt?
Danke und viele Grüße
Smarty
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Hallo,
> Warum wird bei einer Substitution das "dt" (siehe oben) mit
> einem "dt" (siehe hier) ersetzt, obwohl die 'neue'
> Integrationsvariable "x" heißt?
Weil es sich um einen Tippfehler handelt, der an der Richtigkeit des Resultates nichts ändert, jedoch leider übersehen wurde.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Di 03.06.2014 | | Autor: | smarty |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > Warum wird bei einer Substitution das "dt" (siehe oben)
> mit
> > einem "dt" (siehe hier) ersetzt, obwohl die 'neue'
> > Integrationsvariable "x" heißt?
>
> Weil es sich um einen Tippfehler handelt, der an der
> Richtigkeit des Resultates nichts ändert, jedoch leider
> übersehen wurde.
das kann nicht sein, denn dann würde das Integral genau so ausschauen, wie ich es hier (siehe editierter Abschnitt) geschrieben habe, wenn man [mm] $dt=\bruch{1}{\wurzel{5}}*\cosh(x)\ [/mm] dx$ einsetzt.
Kannst du das bitte noch einmal prüfen?
Vielen Dank und Grüße
Smarty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 03.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> das kann nicht sein, denn dann würde das Integral genau so
> ausschauen, wie ich es
> hier (siehe editierter Abschnitt)
> geschrieben habe, wenn man
> [mm]dt=\bruch{1}{\wurzel{5}}*\cosh(x)\ dx[/mm] einsetzt.
>
> Kannst du das bitte noch einmal prüfen?
Ja das habe ich getan. Mir war da, in der Absicht, das entstandenen Chaos aufzudröseln, selbst ein Fehler unterlaufen indem ich die ursprüngliche unabhängige Variable mit der substituierten vertauscht habe.
Ein wenig könntest du aber hier durchaus auch selbst in dich gehen und dich fragen, inwiefern du zu diesem sicherlich unglücklichen Verlauf beigetragen hast, mit dem Ziel, dies beim nächsten Mal besser zu machen...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Di 03.06.2014 | | Autor: | smarty |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > das kann nicht sein, denn dann würde das Integral genau
> so
> > ausschauen, wie ich es
> > hier (siehe editierter Abschnitt)
>
> > geschrieben habe, wenn man
> > [mm]dt=\bruch{1}{\wurzel{5}}*\cosh(x)\ dx[/mm] einsetzt.
> >
> > Kannst du das bitte noch einmal prüfen?
>
> Ja das habe ich getan. Mir war da, in der Absicht, das
> entstandenen Chaos aufzudröseln, selbst ein Fehler
> unterlaufen indem ich die ursprüngliche unabhängige
> Variable mit der substituierten vertauscht habe.
>
> Ein wenig könntest du aber hier durchaus auch selbst in
> dich gehen und dich fragen, inwiefern du zu diesem
> sicherlich unglücklichen Verlauf beigetragen hast, mit dem
> Ziel, dies beim nächsten Mal besser zu machen...
ich habe mich entschuldigt, sofort bei Bemerken alle Antworten editiert und darauf hingewiesen, dass mir ein Fehler unterlaufen ist.
Was kann man hier noch tun???
Grüße
Smarty
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 08:51 Di 03.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Hi,
>
> ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> > Hmm .. so evtl? :
> >
> > [mm]\bruch{dx}{dt}=cosh^2(x) \gdw[/mm] dt = [mm]cosh^2(x)*dx[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> >
> > [mm]\integral_{0}^{b}{\wurzel{1+(sinh(x))^{2}} *cosh^2(x) dx}}[/mm]
>
> >
> >
> > Sollte ich dann [mm]sinh^2(x)[/mm] durch [mm]1+cosh^2(x)[/mm] ersetzen oder
> > umgekehrt?
>
> Ich weiß jetzt gar nicht, wie ich dir das anders
> beschreiben soll, als so:
>
> [mm]cosh^2(x)-sinh^2(x)=1\ \gdw\ cosh(x)=\wurzel{1+sinh^2(x)}[/mm]
>
> das ergibt für dein Integral
>
> [mm]\integral_0^b{cosh(x)}\ dx=...[/mm]
>
Dasist ab hier alles ein Muster ohne Wert, da völlig vergessen wurde, dass man das Differenzial mitsubstituieren muss!
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Hmm .. so evtl? :
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}=cosh^2(x) \gdw[/mm] dt = [mm]cosh^2(x)*dx[/mm]
>
Nein, sicherlich nicht. Hast du schon einmal etwas von der Kettenregel gehört?
Gruß, Diophant
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Hallo,
wozu gibt's eigentlich die Forensuche?
https://vorhilfe.de/read?t=1023525
So muss man alles doppelt und dreifach machen.
Schaue dir diesen langen thread an ...
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
da hier durch vorschnelle Antworten und ungenügendes Studium der gegebenen Antworten seitens des Themenstarters ein ziemliches Chaos entstanden war, ist mir auch ein Fehler unterlaufen. Daher hier die Lösung des fraglichen Integrals im Überblick:
[mm] \int_{0}^{b}{\wurzel{1+5t^2} dt} [/mm] ; [mm] sinh(x)=\wurzel{5}t \Rightarrow dt=cosh(x)/\wurzel{5}*dx
[/mm]
Mit der obigen Substitution berechnet sich das Integral zu:
[mm] \int_{0}^{b}{\wurzel{1+5t^2} dt}=\bruch{1}{\sqrt{5}} \int_{0}^{sinh(b)/\wurzel{5}}{cosh^2(x) dx}=\bruch{1}{2}\left[x+sinh(x)*cosh(x)\right]_0^{sinh(b)/\wurzel{5}}
[/mm]
Dies wäre jetzt noch vollends zu berechnen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Di 03.06.2014 | | Autor: | smarty |
Hallo,
ich denke, dass die obere Grenze nicht stimmt. Wenn doch, dann betrachtet diese Mitteilung als gegenstandslos - nicht, dass ich noch mehr Unruhe mit falschen Aussagen stifte.
Grüße
Smarty
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
. Nach einigen Überlegungen bin ich zu dem hier gekommen
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
mittlerweile korrigiert!
