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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Länge einer Kurve
Länge einer Kurve < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Länge einer Kurve: Frage zum Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Mi 24.02.2016
Autor: mathelernender

Aufgabe
Gegeben sei f(x) = [mm] a*cosh(\bruch{x}{a}) [/mm] = [mm] \bruch{a}{2}*(exp(\bruch{x}{a}) [/mm] + [mm] exp(-\bruch{x}{a})) [/mm]
mit a > 0 eine Kurve im [mm] \IR^{2}. [/mm]
Berechne die Länge vom Punkt [mm] A=(0,f(0))^{T} [/mm] bis [mm] P=(s,f(s))^{T} [/mm] für beliebige s > 0.




Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zu der o.g. Aufgabe und zu meinem Ansatz:

Wir haben die Länge einer Kurve definiert als:
[mm] \integral_{a}^{b}{\parallel f'(x)\parallel dx}, wobei\parallel*\parallel [/mm] die 2-Norm ist.

Also zu meinem Ansatz:

Zunächst brauche ich die Ableitung von f:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}*(exp(\bruch{x}{a}) [/mm] - [mm] exp(-\bruch{x}{a})) [/mm]

Dann die 2-Norm der 1. Ableitung: (Hier kommt jetzt auch mein Problem)

ich möchte ja zu den Paaren [mm] (0,f(0))^{T} [/mm]  und [mm] (s,f(s))^{T} [/mm] die Länge berechnen: Also wollte ich die Norm wie folgt berechnen:

[mm] \parallel [/mm] (x', f'(x)) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{1 + (\bruch{1}{2}*(exp(\bruch{x}{a}) - exp(-\bruch{x}{a}))^2)} [/mm]

Aber das ganze kann man in meinen Augen nicht mehr wirklich zusammenfassen, geschweige denn im nächsten Schritt ordentlich integrieren...stimmt mein Ansatz überhaupt?

Viele Grüße,
mathelernender

        
Bezug
Länge einer Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:00 Mi 24.02.2016
Autor: felixf

Moin!

> Gegeben sei f(x) = [mm]a*cosh(\bruch{x}{a})[/mm] =
> [mm]\bruch{a}{2}*(exp(\bruch{x}{a})[/mm] + [mm]exp(-\bruch{x}{a}))[/mm]
> mit a > 0 eine Kurve im [mm]\IR^{2}.[/mm]
>  Berechne die Länge vom Punkt [mm]A=(0,f(0))^{T}[/mm] bis
> [mm]P=(s,f(s))^{T}[/mm] für beliebige s > 0.
>  
>
>
> Hallo zusammen,
>  ich habe eine Frage zu der o.g. Aufgabe und zu meinem
> Ansatz:
>  
> Wir haben die Länge einer Kurve definiert als:
>  [mm]\integral_{a}^{b}{\parallel f'(x)\parallel dx}, wobei\parallel*\parallel[/mm]
> die 2-Norm ist.
>  
> Also zu meinem Ansatz:
>  
> Zunächst brauche ich die Ableitung von f:
>  f'(x) = [mm]\bruch{1}{2}*(exp(\bruch{x}{a})[/mm] -
> [mm]exp(-\bruch{x}{a}))[/mm]
>  
> Dann die 2-Norm der 1. Ableitung: (Hier kommt jetzt auch
> mein Problem)
>  
> ich möchte ja zu den Paaren [mm](0,f(0))^{T}[/mm]  und [mm](s,f(s))^{T}[/mm]
> die Länge berechnen: Also wollte ich die Norm wie folgt
> berechnen:
>  
> [mm]\parallel[/mm] (x', f'(x)) [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{1 + (\bruch{1}{2}*(exp(\bruch{x}{a}) - exp(-\bruch{x}{a}))^2)}[/mm]
>  
> Aber das ganze kann man in meinen Augen nicht mehr wirklich
> zusammenfassen,

Oh doch, das geht gut :) Verwende dazu doch [mm] $(\cosh [/mm] x)' = [mm] \sinh [/mm] x$ und [mm] $\cosh^2 [/mm] x - [mm] \sinh^2 [/mm] x = 1$, damit kannst du ziemlich gut sehen wie das Ergebnis aussehen sollte.

> geschweige denn im nächsten Schritt
> ordentlich integrieren...stimmt mein Ansatz überhaupt?

Der Ansatz stimmt.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Länge einer Kurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:10 Mi 24.02.2016
Autor: mathelernender

Dankeschön Felix,

klassischer Fall von Additionstheoremen...

THX!

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