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| Aufgabe | Gegeben sei f(x) = [mm] a*cosh(\bruch{x}{a}) [/mm] = [mm] \bruch{a}{2}*(exp(\bruch{x}{a}) [/mm] + [mm] exp(-\bruch{x}{a})) [/mm]
mit a > 0 eine Kurve im [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Berechne die Länge vom Punkt [mm] A=(0,f(0))^{T} [/mm] bis [mm] P=(s,f(s))^{T} [/mm] für beliebige s > 0. |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zu der o.g. Aufgabe und zu meinem Ansatz:
Wir haben die Länge einer Kurve definiert als:
[mm] \integral_{a}^{b}{\parallel f'(x)\parallel dx}, wobei\parallel*\parallel [/mm] die 2-Norm ist.
Also zu meinem Ansatz:
Zunächst brauche ich die Ableitung von f:
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}*(exp(\bruch{x}{a}) [/mm] - [mm] exp(-\bruch{x}{a}))
[/mm]
Dann die 2-Norm der 1. Ableitung: (Hier kommt jetzt auch mein Problem)
ich möchte ja zu den Paaren [mm] (0,f(0))^{T} [/mm] und [mm] (s,f(s))^{T} [/mm] die Länge berechnen: Also wollte ich die Norm wie folgt berechnen:
[mm] \parallel [/mm] (x', f'(x)) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{1 + (\bruch{1}{2}*(exp(\bruch{x}{a}) - exp(-\bruch{x}{a}))^2)}
[/mm]
Aber das ganze kann man in meinen Augen nicht mehr wirklich zusammenfassen, geschweige denn im nächsten Schritt ordentlich integrieren...stimmt mein Ansatz überhaupt?
Viele Grüße,
mathelernender
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Mi 24.02.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben sei f(x) = [mm]a*cosh(\bruch{x}{a})[/mm] =
> [mm]\bruch{a}{2}*(exp(\bruch{x}{a})[/mm] + [mm]exp(-\bruch{x}{a}))[/mm]
> mit a > 0 eine Kurve im [mm]\IR^{2}.[/mm]
> Berechne die Länge vom Punkt [mm]A=(0,f(0))^{T}[/mm] bis
> [mm]P=(s,f(s))^{T}[/mm] für beliebige s > 0.
>
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> Hallo zusammen,
> ich habe eine Frage zu der o.g. Aufgabe und zu meinem
> Ansatz:
>
> Wir haben die Länge einer Kurve definiert als:
> [mm]\integral_{a}^{b}{\parallel f'(x)\parallel dx}, wobei\parallel*\parallel[/mm]
> die 2-Norm ist.
>
> Also zu meinem Ansatz:
>
> Zunächst brauche ich die Ableitung von f:
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{2}*(exp(\bruch{x}{a})[/mm] -
> [mm]exp(-\bruch{x}{a}))[/mm]
>
> Dann die 2-Norm der 1. Ableitung: (Hier kommt jetzt auch
> mein Problem)
>
> ich möchte ja zu den Paaren [mm](0,f(0))^{T}[/mm] und [mm](s,f(s))^{T}[/mm]
> die Länge berechnen: Also wollte ich die Norm wie folgt
> berechnen:
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> [mm]\parallel[/mm] (x', f'(x)) [mm]\parallel[/mm] = [mm]\wurzel{1 + (\bruch{1}{2}*(exp(\bruch{x}{a}) - exp(-\bruch{x}{a}))^2)}[/mm]
>
> Aber das ganze kann man in meinen Augen nicht mehr wirklich
> zusammenfassen,
Oh doch, das geht gut :) Verwende dazu doch [mm] $(\cosh [/mm] x)' = [mm] \sinh [/mm] x$ und [mm] $\cosh^2 [/mm] x - [mm] \sinh^2 [/mm] x = 1$, damit kannst du ziemlich gut sehen wie das Ergebnis aussehen sollte.
> geschweige denn im nächsten Schritt
> ordentlich integrieren...stimmt mein Ansatz überhaupt?
Der Ansatz stimmt.
LG Felix
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Dankeschön Felix,
klassischer Fall von Additionstheoremen...
THX!
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