Länge einer Kurve < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Wichi20 |
| Aufgabe 1 | Zeichnen Sie die Kurve und berechnen Sie ihre Länge: r = sin(phi) ; phi [mm] \in [0;\pi]
[/mm]
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| Aufgabe 2 | | Gegeben ist folgende Kurve: r = 2; phi [mm] \in [0;\pi]. [/mm] |
Moin erstmal :)
Ich stutzte zunächst, bei dem Ausdruck r= 2 für die Kurve in Aufgabe 2 . Ist das eine Angabe in Polarkoordinaten ( bzw. wo taucht das phi in Aufgabe 2 auf ?!) und wenn ja : Wie rechne ich dann damit weiter bzgl. Längeberechnung etc. Und falls das Polarkoordinaten sein sollten , ist dann auch r=sin(phi) eine Polarkoordintendarstellung oder kann ich da ganz einfach mit [mm] L=\integral_{a}^{b}{1+f'(x) dx} [/mm] rechnen... ?
Vielen Dank :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Mo 19.01.2009 | | Autor: | reverend |
Wofür stehen denn die Kästchen? Das ist ja meist ein Problem der Übertragung zwischen Zeichensätzen.
Bitte redigiere doch Deine Anfrage und verwende den Formeleditor, so dass die Aufgabenstellung eindeutig erkennbar ist.
lg,
reverend
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Hallo Wichi,
Bei Aufgabe 2 dürfte es sich um eine der
berühmtesten Kurven der Geometrie handeln ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mo 19.01.2009 | | Autor: | reverend |
Jetzt kreisen meine Gedanken darum, was Du wohl meinen könntest, Al... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Ahja ... gibts auch ne Antwort , die mir weiterhilft?! Vor allem bzgl. der Polarkoordinatendarstellung ??
Und was für Kästchen soll ich ersetzen ?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Zeichne mal alle Punkte, die von 0 immer den abstand r=2 haben ...................
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Ja gut , dann hab ich einen Kreis. Aber es geht ja in erster Linie darum, ob ich das irgendwie umrechnen muss ... Und wenn ja , wie :o
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja gut , dann hab ich einen Kreis.
Bingo !!
Aber es geht ja in
> erster Linie darum, ob ich das irgendwie umrechnen muss ...
> Und wenn ja , wie :o
Was ist denn der Umfang eines Kreises mit Radius 2 ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Wichi20 |
4 [mm] \Pi [/mm] wohl... Aber ich verstehe den ganzen Zusammenhand zwischen dem "gegebenen" Phi, dem Intervall und den noch folgenden Rechnungen, wie Längenberechnung , eingeschlossene Fläche mit x-Achse etc nicht.
Und bei Aufgabe 1 kann ich die Formel ganz normal anwenden, oder muss ich da irgendwas umrechnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Lass sie aber mit Radius 2 kreisen
FRED
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> Lass sie aber mit Radius 2 kreisen
>
> FRED
..... mit einem scharfen Stopp nach einer halben Drehung !
Al
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> Zeichnen Sie die Kurve und berechnen Sie ihre Länge: r =
> sin(phi) ; phi [mm]\in [0;\pi][/mm]
>
> Gegeben ist folgende Kurve: r = 2; phi [mm]\in [0;\pi].[/mm]
> Moin
> erstmal :)
>
> Ich stutzte zunächst, bei dem Ausdruck r= 2 für die Kurve
> in Aufgabe 2 . Ist das eine Angabe in Polarkoordinaten (
> bzw. wo taucht das phi in Aufgabe 2 auf ?!) und wenn ja :
> Wie rechne ich dann damit weiter bzgl. Längeberechnung etc.
> Und falls das Polarkoordinaten sein sollten , ist dann
> auch r=sin(phi) eine Polarkoordintendarstellung oder kann
> ich da ganz einfach mit [mm]L=\integral_{a}^{b}{1+f'(x) dx}[/mm]
> rechnen... ?
> 4 [mm]\Pi[/mm] wohl... Aber ich verstehe den ganzen Zusammenhang
> zwischen dem "gegebenen" Phi, dem Intervall und den noch
> folgenden Rechnungen, wie Längenberechnung ,
> eingeschlossene Fläche mit x-Achse etc nicht.
>
>
> Und bei Aufgabe 1 kann ich die Formel ganz normal anwenden,
> oder muss ich da irgendwas umrechnen
Na gut,
in der zweiten Aufgabe ist r konstant, [mm] \varphi [/mm] läuft von
Null bis [mm] \pi. [/mm] Dann beschreibt der Punkt einen Halbkreis:
die obere Hälfte des Kreises um O(0/0) mit Radius r=2.
Die gestellten Fragen (Bogenlänge, Fläche zwischen
Kurve und x-Achse) kann man hier natürlich ohne Inte-
grale mit elementarer Geometrie beantworten.
Natürlich geht es auch mit Integralen. Vielleicht
war dies ja die Aufgabe.
Betrachten wir einmal die Berechnung der Bogenlänge
im ersten Beispiel:
Die Formel dafür in Polarkoordinaten ist
[mm] L=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi
[/mm]
In diese Formel kannst du jetzt einsetzen mit:
[mm] \varphi_0=0\qquad \varphi_1=\pi\qquad r(\varphi)=sin(\varphi)
[/mm]
Ganz analog geht dies natürlich auch mit dem
anderen Beispiel und der konstanten Funktion r=2.
Gruß Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Ok danke , dass hilft mir weiter :). Aber dürfte das dann nicht nur 1/4 Kreis sein ?? Weil unser Umfang ist doch [mm] 4\pi [/mm] und unser phi läuft von 0 bis [mm] \pi [/mm] ... ??!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Nein.
[mm] \pi [/mm] im Gradmaß = [mm] 180^{°}
[/mm]
FRED
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Hallo,
ich habe ein Problem bei der gleichen Aufgabe.
Ich schreibe mal zuerst meine Lösung:
$ [mm] L=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi [/mm] $
für [mm] r´(\varphi)² [/mm] habe ich [mm] sin(\varphi) [/mm] eingesetzt, ebenso in dem zweiten Teil in der Wurzel.
Jetzt steht bei mir in der wurzel folgendes:
[mm] cos²(\varphi) [/mm] + sin² [mm] (\varphi) [/mm] und dies ergibt ja 1.
Und da die Wurzel aus 1 ja 1 ist muss ich ja nur die 1 integrieren und habe da dann [mm] \varphi [/mm] stehen. Und meine Lösung ist dann am Ende [mm] \pi, [/mm] weil ich obere grenze minus untere grenze rechne.
Ist das soweit richtig?
gruß
linda
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> Hallo,
>
> ich habe ein Problem bei der gleichen Aufgabe.
> Ich schreibe mal zuerst meine Lösung:
>
> [mm]L=\int_{\varphi_0}^{\varphi_1}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,\mathrm{d}\varphi[/mm]
> für [mm]r´(\varphi)^{\red{2}}[/mm] habe ich [mm]sin(\varphi)[/mm] eingesetzt,
du meinst sicher: für [mm] r(\varphi) [/mm] !
> ebenso in dem zweiten Teil in der Wurzel.
> Jetzt steht bei mir in der wurzel folgendes:
> [mm]cos²(\varphi)[/mm] + sin² [mm](\varphi)[/mm] und dies ergibt ja 1.
> Und da die Wurzel aus 1 ja 1 ist muss ich ja nur die 1
> integrieren und habe da dann [mm]\varphi[/mm] stehen. Und meine
> Lösung ist dann am Ende [mm]\pi,[/mm] weil ich obere grenze minus
> untere grenze rechne.
> Ist das soweit richtig?
>
> gruß
> linda
hallo linda,
exakt so geht's ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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vielen dank soweit!
aber jetzt habe ich schon das nächste problem...
bei der 2. aufgabe mit r=2 habe ich mit der formel die länge der kurve berechnet und [mm] 2\pi [/mm] raus. das ist glaub ich auch soweit richtig. jetzt möchte ich die fläche berechnen.
ich habe r=2 in die kreisgleichung eingesetzt und habe y²+x²=4, nach y umgestellt ergibt das [mm] y=\wurzel{4-x²}
[/mm]
ist das richtig? das müsste doch auch der halbkreis sein, oder? weil man ja aus negativen zahlen keine wurzel ziehen kann.
mein problem ist jetzt, ich kann das nicht integrieren. mit der substitution habe ich es versucht aber nicht geschafft..
gruß
linda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Di 20.01.2009 | | Autor: | urmelinda |
ich hab die aufgabe mit den polarkoordinaten gelöst, so gings wesentlich leichter :)
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> jetzt möchte ich die fläche
> berechnen.
> ich habe r=2 in die kreisgleichung eingesetzt und habe
> y²+x²=4, nach y umgestellt ergibt das [mm]y=\wurzel{4-x²}[/mm]
> ist das richtig? das müsste doch auch der halbkreis sein,
> oder? weil man ja aus negativen zahlen keine wurzel ziehen
> kann.
Ja. Letztere Einschränkung legt den Definitionsbereich
auf das Intervall [-2;+2] fest.
> mein problem ist jetzt, ich kann das nicht integrieren.
> mit der substitution habe ich es versucht aber nicht
> geschafft..
Eine passende Substitution wäre [mm] x=2*cos(\varphi) [/mm] , und damit
ist man praktisch zurück bei der Polardarstellung !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 20.01.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Nochmal ne Frage zu der ersten Aufgabe , die ich gestellt hatte: Das muss ich ja auch zeichnen von 0 - [mm] \pi [/mm] ergibt das dann eine halbe Ellipse oder wie?
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Ich habe zwar immer noch die Kästchen für "undefiniertes Zeichen" hier stehen, nehme aber an Du meinst die Funktion [mm] r=\sin{\varphi} [/mm] für [mm] \varphi \in[0,\pi]
[/mm]
Du kannst dich leicht davon überzeugen, dass das keine Ellipse, sondern einen Kreis mit dem Radius [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ergibt, der seinen Mittelpunkt (in Polarkoordinaten) in [mm] \left(\bruch{1}{2}, \bruch{\pi}{2}\right) [/mm] hat (kartesisch also in 0,0.5).
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Di 20.01.2009 | | Autor: | Wichi20 |
ok danke :) Und dann wäre der Kreismittelpunkt im Intervall von [mm] [0,2\Pi] [/mm] (0,0) ?
Oder habe ich auf dem Intervall von [mm] [0,\pi] [/mm] einfach nur nen Halbkreis wieder
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Selbst denken macht schlau:
ich bedanke mich also für die Gelegenheit, einen Vorsprung zu behalten... 
Im Intervall [mm] [\pi,2\pi] [/mm] wird genau der gleiche Kreis ein zweites Mal durchlaufen, da die Sinuswerte negativ sind und somit ein negativer Radius als Funktionswert entsteht.
lg,
reverend
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ich hab jetzt nicht ganz verstanden, wie die zeichnung aussieht...
kann ich nicht die werte in r=sin [mm] \varphi [/mm] einsetzen? ich bekomme dann die sinuskurve bis [mm] \pi [/mm] , also bis dahin wo die x achse geschnitten wird.
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> ich hab jetzt nicht ganz verstanden, wie die zeichnung
> aussieht...
> kann ich nicht die werte in r=sin [mm]\varphi[/mm] einsetzen? ich
> bekomme dann die sinuskurve bis [mm]\pi[/mm] , also bis dahin wo die
> x achse geschnitten wird.
hallo,
Es handelt sich um Polarkoordinaten !
Der Punkt [mm] P(r,\varphi) [/mm] liegt auf dem vom Ursprung O(0/0)
ausgehenden Strahl mit dem Polarwinkel [mm] \varphi [/mm] ,
im Abstand r von O (wenn [mm] r\ge [/mm] 0, was im Bsp. der Fall ist).
LG
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hmm.. irgendwie versteh ich das nicht.
ich habe gelesen, dass der radius 0,5 ist, aber wie kommt man darauf?
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Hallo urmelinda!
Zeichne Dir einen beliebigen Kreis. Zeichne einen seiner Durchmesser. Seine Länge sei d. Zeichne eine beliebige Linie, die an einem der beiden Schnittpunkte von Durchmesser und Kreis beginnt, und die den Kreis irgendwo anders schneidet. Der Winkel zwischen Deinen beiden Linien im Kreis sei nun [mm] \varphi. [/mm] Wie lang ist die kürzere, als zweites gezeichnete Linie? (Tipp: Thaleskreis)
Vergleiche die gefundene Formel nun mit der hier vorliegenden Funktionsvorschrift [mm] r(\varphi)=\sin{\varphi}. [/mm] Weißt du nun, warum es erstens ein Kreis ist und warum zweitens sein Radius genau [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist?
lg,
reverend
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> hmm.. irgendwie versteh ich das nicht.
> ich habe gelesen, dass der radius 0,5 ist, aber wie kommt
> man darauf?
Ich hätte dir gerne ganz von Anfang an empfohlen,
ein Blatt Papier, das Geodreieck, den Taschenrechner
und einen Bleistift zu nehmen, ein Koordinatensystem
und Strahlen von O aus mit den Winkeln 0°, 10°, 20°,
30°, 40°, .... 180° zu zeichnen und dann längs dieser
Strahlen die Werte sin(0°), sin(10°, sin(20°) etc. (mit
Einheit=1 dm) abzutragen. Dann anschauen, was da
entstanden ist.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:09 Mi 21.01.2009 | | Autor: | urmelinda |
so hab ich es jetzt auch gemacht. danke!
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