Länge einer Kurve, in C, net R < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Do 05.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | [mm] $x:\IR \to \IR^2$ [/mm] ist die Lösung des Anfangswertproblemes aus Teilaufgabe a), berechnen Sie die Länge der Kurve [mm] $x:[0,2\pi] \to \IR^2$. [/mm] Skizzieren Sie gegebenenfalls die Menge [mm] $\{x(t) : 0 \le t \le 2\pi \}$
[/mm]
$x(t) := [mm] (3+\frac{2}{i})e^{i*t}\vektor{1 \\ i}+(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}\vektor{-1 \\ i}$ [/mm] |
Hallo.
Also ich habe die Lösung der Teilaufgabe 1 lösen müssen und es steht dort als Tipp, dass ein komplexes Ergebnis rauskommt und man daher nicht vorher aufhört.
Jetzt ist meine Frage erst einmal, kann man das mit meinem Ergebnis für x(t) lösen? Falls ja, weiß ich gar nicht wie das gehn soll
Ich kenne das so
man hat eine funktion f(x) = (g(x), h(x))
f'(x) = (g'(x), h'(x))
Länge = [mm] $\int \sqrt{|g'(x)|^2 + |h'(x)|^2 }$
[/mm]
Irgenwdie kann ich das aber so nicht übertragen.
$x(t) := [mm] (3+\frac{2}{i})e^{i*t}\vektor{1 \\ i}+(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}\vektor{-1 \\ i}$
[/mm]
Und wie leitet man so eine Matrix ab?
Habe da leider keine Ahnung und bitte daher euch um Hilfe
Gruß
Wehm
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Hi!
Das sieht nur im ersten Moment ziemlich abstract aus, aber denk mal ganz genau drüber nach was da steht, - Ist das wirklich eine Matrix? Vielleicht helfen dir ja folgende Anregungen:
Zu deiner Frage: > ...., kann man das mit meinem
> Ergebnis für x(t) lösen? Falls ja, weiß ich gar nicht wie
> das gehn soll
> Ich kenne das so
> man hat eine funktion f(x) = (g(x), h(x))
> f'(x) = (g'(x), h'(x))
>
> Länge = [mm]\int \sqrt{|g'(x)|^2 + |h'(x)|^2 }[/mm]
>
> Irgenwdie kann ich das aber so nicht übertragen.
>
> [mm]x(t) := (3+\frac{2}{i})e^{i*t}\vektor{1 \\ i}+(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}\vektor{-1 \\ i}[/mm]
Zunächst ist dein Ergebnis gar keine Matrix, sondern ein Vektor, denn:
[mm]x(t) := (3+\frac{2}{i})e^{i*t}\vektor{1 \\ i}+(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}\vektor{-1 \\ i}:= \vektor{ (3+\frac{2}{i})e^{i*t}\\ i*(3+\frac{2}{i})e^{i*t}}+\vektor{(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t} \\ i*(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}}=\vektor{ (3+\frac{2}{i})e^{i*t}+(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}\\ i*[(3+\frac{2}{i})e^{i*t}+{(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}]}[/mm]
Das kann man noch ein wenig weiter vereinfachen, aber ich denke das kriegst du auch allein hin (Tip: cos, sin)
Als nächstes lautet deine Funktion f hier x und hängt von t ab, dass hier die Rolle vom x übernimmt.
Wie oben schon gesagt ist x ein Vektor nämlich:
[mm]x(t) = \vektor{ (3+\frac{2}{i})e^{i*t}+(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}\\ i*[(3+\frac{2}{i})e^{i*t}+{(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}]}[/mm]
Dann kann ich x(t) aber schreiben als:
[mm]x(t) = (g(t), h(t))= \vektor{ g(t)\\ h(t)} [/mm] mit [mm] g(t)=(3+\frac{2}{i})e^{i*t}+(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t} [/mm] und h(t)= [mm] i*[(3+\frac{2}{i})e^{i*t}+(-3+\frac{2}{i})e^{-i*t}] [/mm] [/mm]
Und ich denke das kannst du auch ableiten, nämlich so wie du es schon für f(x) beschrieben hast, - komponentenweise nur diesmal nach t!:
[mm]x'(t) =( g'(t) , h'(t))= \vektor{ g'(t)\\ h'(t)} [/mm]
Für die Längen Formel gilt nun:
Länge = [mm]\int \sqrt{|g'(t)|^2 + |h'(t)|^2 }[/mm]
Den Rest kannst du denke ich selber! Ich hoffe ich konnte dir helfen!
Gruß
Deuterinomium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 So 22.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo und großes Danke. In deiner Antwort steckt wirklich sehr viel verständliches drin.
Gruß, Wehm
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