Länge einer Spirale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Do 22.10.2015 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Länge der Spirale
[mm] C={e^{2t}\pmat{cos(t) \\ sin(t) }|0\le t \le 0,5} [/mm] |
hey :)
erstmal hoffe ich, dass ich in diesem Thread gerade richtig bin.
Habe folgende Aufgabe und würde gerne wissen ob ich sie richtig gelöst habe?
Habe zuerst nach t abgeleitet:
[mm] \vec{C} [/mm] = [mm] e^{2t}\pmat{2cos(t) - sin(t) \\ 2sin(t) + cos(t) }
[/mm]
danach habe ich den Betrag gebildet:
[mm] |\vec{C}| [/mm] = |C(t)| = [mm] \wurzel{(e^{2t}*(2cos(t)-sin(t)))^2 + (e^{2t}*(2sin(t)+cos(t)))^2}
[/mm]
= [mm] \wurzel{5} [/mm] * [mm] \wurzel{(e^{4t}*(sin^2(t) + cos^2(t))} [/mm]
= [mm] \wurzel{5} [/mm] * [mm] e^{2t}
[/mm]
Dann habe ich nach t integriert um den Weg s zu bekommen:
s = [mm] \integral_{0}^{0,5}{|C(t)| dt}
[/mm]
s = [mm] \integral_{0}^{0,5}{\wurzel{5} * e^{2t} dt}
[/mm]
s = [mm] [0,5*\wurzel{5}*e^{2t}] ^{0,5}_{0}
[/mm]
s = [mm] 0,5*\wurzel{5}*e [/mm] - [mm] 0,5*\wurzel{5}
[/mm]
Kann das Ergebnis stimmen, oder habe ich irgendwo einen Fehler?
LG :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Do 22.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Länge der Spirale
> [mm]C={e^{2t}\pmat{cos(t) \\ sin(t) }|0\le t \le 0,5}[/mm]
> hey :)
> erstmal hoffe ich, dass ich in diesem Thread gerade
> richtig bin.
> Habe folgende Aufgabe und würde gerne wissen ob ich sie
> richtig gelöst habe?
>
> Habe zuerst nach t abgeleitet:
> [mm]\vec{C}[/mm] = [mm]e^{2t}\pmat{2cos(t) - sin(t) \\ 2sin(t) + cos(t) }[/mm]
Dann sollte da stehen:
[mm]\vec{C}'(t)[/mm] = [mm]e^{2t}\pmat{2cos(t) - sin(t) \\ 2sin(t) + cos(t) }[/mm]
>
> danach habe ich den Betrag gebildet:
> [mm]|\vec{C}|[/mm] = |C(t)| = [mm]\wurzel{(e^{2t}*(2cos(t)-sin(t)))^2 + (e^{2t}*(2sin(t)+cos(t)))^2}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{5}[/mm] * [mm]\wurzel{(e^{4t}*(sin^2(t) + cos^2(t))}[/mm]
> = [mm]\wurzel{5}[/mm] * [mm]e^{2t}[/mm]
Oben hast Du wieder die Ableitungsstriche vergessen.
>
> Dann habe ich nach t integriert um den Weg s zu bekommen:
>
> s = [mm]\integral_{0}^{0,5}{|C(t)| dt}[/mm]
> s =
> [mm]\integral_{0}^{0,5}{\wurzel{5} * e^{2t} dt}[/mm]
> s =
> [mm][0,5*\wurzel{5}*e^{2t}] ^{0,5}_{0}[/mm]
> s = [mm]0,5*\wurzel{5}*e[/mm] -
> [mm]0,5*\wurzel{5}[/mm]
>
> Kann das Ergebnis stimmen, oder habe ich irgendwo einen
> Fehler?
Alles richtig.
FRED
> LG :)
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