Länge eines Astroidenbogens < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Länge des Astroidenbogens
L = [mm] {R\vektor{cos^3(t) \\ sin^3(t)}|0 \le t \le \bruch{\pi}{2}} [/mm] |
Hallo,
wir machen jetzt Kurvenintegrale und damit ich das eher verstehe versuche ich wieder Aufgaben zu machen.
Bei dieser Aufgabe dachte ich mir jetzt das wenn man den Weg bestimmen soll und die Grenzen in der Zeit t gegeben sind das es sich bei dem R*Vektor um die Geschwindigkeit handelt. Und da das Integral der Geschwindigkeit gleich dem Weg ist, würde ich einfach direkt R*Vektor Integrieren.
Allerdings bin ich mir da nicht ganz so sicher weil ich das so noch nie gemacht habe.
Würde das dann jetzt so machen:
L = [mm] R\vektor{\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^3(t) dt} \\\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin^3(t) dt}}
[/mm]
Wäre das so richtig? Müsste ich dann mit dem Weg, der da jetzt als Vektor dargestellt wäre, noch etwas machen oder würde das so reichen?
Lg :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Sa 08.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du dir überlegt hast ist leider falsch. Wenn du etwa mit dem Auto auf einer Astoroidstrasse fährst, würdest du deinen zurückgelegtenWeg dafurch berechnen, dass du den Vektor zum = Punkt deines Systems mit den Änderungen [mm] \Delta [/mm] r des Abstansd multiplizierst und das aufaddierst? [mm] \vec{r} [/mm] ist doch nicht der zurückgelegte Weg längs der Kurve. ! Dagegen ist die Geschwindigkeit tangential zur Kurve, also in Richtung des Weges, du würdest deine Geschwindigkeit- und zwar deren Betrag mit den jeweiligen Zeitabschnitten [mm] \Delta [/mm] t multiplizieren und das aufaddieren, also [mm] s=\summe_{i=1}^{n}|v_i|*\Delta t_i [/mm] und damit mathematisch dann [mm] s_{ab}=\integral_{a}^{b}|v(t)|dt [/mm] rechnen.
in deinem Fall mit
[mm] \vec{r}=$ {R\vektor{cos^3(t) \\ sin^3(t)}|0 \le t \le \bruch{\pi}{2}} [/mm] $
[mm] \vec{v}=$ {R\vektor{-3*cos^2(t) *sin(t)\\2 sin^^2(t)*cos(t)}|0 \le t \le \bruch{\pi}{2}} [/mm] $
und [mm] |v(t)|=3R*\sqrt{cos^4{t}sin^2(t)+sin^4(t)cos^2(t)}
[/mm]
die Länge deines Weges ist ja auch kein Vektor!
vielleicht überlegst du das erstmal bei einer einfacheren Kurve, wie einem Kreis, da kannst du ja auch das Ergebnis kontrollieren!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
ahhh mist ja ich weiß wo mein Hauptfehler liegt :/
Hab total ausgeblendet das wir ja Kurven fahren >.<
Das der Weg kein Vektor ist hatte ich mir schon fast gedacht. wusste aber nicht wie ich das anders machen sollte
Aber ne das macht Sinn das Gegebene nach der Zeit abzuleiten um auf die Geschwindigkeit zu kommen mit deren Betrag man über ein Integral mit den Grenzen 0 und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] auf den normalen Weg kommt.
Hab da jetzt 1,5R raus. Kann das sein? :)
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> Hab da jetzt 1,5R raus. Kann das sein? :)
Sowas weiß auch Uncle Google:
https://de.wikipedia.org/wiki/Astroide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Teryosas |
Alles kla, dann stimmts also :)
Danke für die Hilfe :)
Auf die Idee Google zu benutzen bin ich nicht gekommen^^ dachte die Aufgabe wäre erfunden xD
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> dachte die Aufgabe wäre erfunden
Naja, bei der Astroide oder Sternkurve handelt es sich
halt um eine recht bekannte Kurve, die man z.B. auch
als Rollkurve verstehen kann.
LG , Al-Chw.
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