Länge rektifizierbare Fkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Mo 10.01.2005 | | Autor: | ChryZ |
Hallo zusammen!!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Es sei n [mm] \ge [/mm] 1 und a < b
Man zeige:
Ist f: [a,b] -> [mm] \IR^n [/mm] eine rektifizierbare Kurve, so ist deren Länge L mindestens gleich der Länge jedes in f einbeschriebenen Polygonzugs, d.h. es gilt
L [mm] \ge \summe_{i=1}^{N} \parallel f(t_{i}) [/mm] - [mm] f(t_{i-1}) \parallel
[/mm]
für alle Zerlegungen a = [mm] t_{0} [/mm] < ... < [mm] t_{N} [/mm] = b
Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ja gilt:
| L - [mm] \summe_{i=1}^{N} \parallel f(t_{i}) [/mm] - [mm] f(t_{i-1}) \parallel [/mm] | < [mm] \varepsilon
[/mm]
bei der Feinheit max ( [mm] t_{j} [/mm] - [mm] t_{j-1} [/mm] ) < [mm] \delta
[/mm]
Eigentlich sagt doch dieser Formel gerade aus, das L auch kleiner als die Summe sein, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Mo 10.01.2005 | | Autor: | SEcki |
> Man zeige:
> Ist f: [a,b] -> [mm]\IR^n[/mm] eine rektifizierbare Kurve, so ist
> deren Länge L mindestens gleich der Länge jedes in f
> einbeschriebenen Polygonzugs, d.h. es gilt
>
> L [mm]\ge \summe_{i=1}^{N} \parallel f(t_{i})[/mm] - [mm]f(t_{i-1}) \parallel
[/mm]
>
>
> für alle Zerlegungen a = [mm]t_{0}[/mm] < ... < [mm]t_{N}[/mm] = b
Da kommt es jetzt drauf an wie ihr rektifizierbar definiert hat. Wir (und im Koenigsberger, Ana I, K. 12) haben das gerade als Supremum aller einbeschriebenen Polygonzuege definiert - womit die Behauptung gerade zu trivial wird.
[Formel geschnippt]
> Eigentlich sagt doch dieser Formel gerade aus, das L auch
> kleiner als die Summe sein, oder?
Nein, wieso auch? Man kann halt einfach dne Betrag weglassen ...
SEcki
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