Länge und Rektifizerbarkeit < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei g:[a,b]-> [c,d] stetig und monoton wachsend und surjektiv. Ist f:[c,d]->Rn eine rektifizierbare stetige Kurve, so auch h:= f ° g:[a,b]->Rn (*) und es gilt L(f) = L(h) (**), wobei L die Länge der betreffenden Kurve angibt. |
Hi,
ich hab ein Problem mit obiger Aufgabe. Ich kann zwar den ersten Aspekt (*) beweisen, aber Der zweite Teilbeweis über die Längen der Kurven macht mir Schwierigkeiten.
Es gilt ja:
L(f) = [mm] \integral_{a}^{b}{|f'(x)| dx}
[/mm]
L(h) = [mm] \integral_{a}^{b}{|h'(x)| dx}
[/mm]
wobei h'(x) = f'(g(x))*g'(x) gilt.
Ich grüble nun schon seit Längerem rum, kriegs aber nicht gebacken.
Danke für die Hilfe,
Cosmo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Irgendwelche Formeln mit Ableitungen nützen hier nichts, da über Differenzierbarkeit in den Voraussetzungen nichts steht.
Ist es nicht einfach so, die Menge aller Polygonzüge bezüglich [mm]f[/mm] gleich der Menge aller Polygonzüge bezüglich [mm]h[/mm] ist, und zwar weil [mm]g[/mm] streng monoton wächst? Dann sind aber auch die Suprema, erstreckt über all die Längen dieser Polygonzüge, gleich.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 23.05.2006 | | Autor: | Riley |
HI!
>>> Ist es nicht einfach so, die Menge aller Polygonzüge bezüglich f gleich der Menge aller Polygonzüge bezüglich h ist, und zwar weil g streng monoton wächst? <<<
Warum ist die Menge der Polygonzüge von f gleich der Menge d.Polygz. von h, weil g streng monoton wächst??
den zusammenhang versteh ich nicht...??
und wie würdest du das beweisen??
viele grüße
riley :)
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Meiner Ansicht nach gibt es da fast nichts zu beweisen. [mm]A,B[/mm] seien Anfangs- und Endpunkt der Kurve. Ein Polygonzug wird dann durch [mm]n+1[/mm] Punkte
[mm]A = P_0 \, , \, P_1 \, , \, P_2 \, , \, \ldots \, , \, P_n = B[/mm]
die in Laufrichtung der Kurve aufeinander folgen, bestimmt. Es gibt also [mm]n+1[/mm] reelle Zahlen
[mm]c = t_0 < t_1 < t_2 < \ldots < t_n = d \ \ \mbox{mit} \ \ P_k = f(t_k) \ \ \mbox{für} \ \ 0 \leq k \leq n[/mm]
Das streng monotone Wachsen und die Surjektivität von [mm]g[/mm] garantieren nun die Existenz von [mm]n+1[/mm] reellen Zahlen
[mm]a = s_0 < s_1 < s_2 < \ldots < s_n = b \ \ \mbox{mit} \ \ g(s_k) = t_k \ \ \mbox{für} \ \ 0 \leq k \leq n[/mm]
Und der Polygonzug bezüglich [mm]f[/mm] ist auch einer bezüglich [mm]h[/mm]: Für [mm]0 \leq k \leq n[/mm] gilt nämlich
[mm]h(s_k) = f \left( g(s_k) \right) = f(t_k) = P_k[/mm]
Mit [mm]f[/mm] beschreibt man also dieselben Polygonzüge wie mit [mm]h[/mm]. Daher stimmen auch die Suprema der Längen aller Polygonzüge überein.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:34 Do 25.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi!!
Vielen vielen Dank für deine erklärungen und das coole bild!!
hab noch eine rückfrage, also braucht man die voraussetzung dass g streng monoton wachsend ist, dafür dass man die reele zahlen [mm] a=s_o [/mm] < [mm] s_2<... [/mm] < [mm] s_n=b [/mm] so anordnen darf?
und die surjektivität sagt doch, dass jedes bild ein urbild hat, d.h. daraus kann man schließen, dass [mm] g(s_k) [/mm] = [mm] t_k [/mm] gilt? und dass [mm] t_k [/mm] überhaupt ein bild von g ist, weiß man durch die verknüpfung von f und g, oder??
vielen dank für deine hilfe - da wär ich nie draufgekommen...
gruß Riley 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 09.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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