Länge von Dreiecksseite < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Nico0175 |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Dreieck mit den Seiten a,b,c.
Seite b ist ein Meter länger als Seite a.
Seite c ist ein Meter kürzer als Seite a.
Der größte Winkel im Dreieck ist doppelt so groß wie der kleinste Winkel.
Wie lang ist Seite a?
(Es wird eine elegante Lösung gesucht, also nur ein paar Zeilen, keine Seitenlange Rechnung). |
Hallo,
fällt jemandem ein eleganter Lösungsansatz ein - das heißt nach Möglichkeit nur ein paar Zeilen lang?
Für Hinweise bin ich dankbar.
Gruß, Nico
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Nico0175 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Das ist so ca. das, was ich auch schon rausbekommen hatte aber das wars dann leider auch. Naja, ist wohl so leicht, dass man den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht. Aber nichts für ungut 
Gruß, Nico
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 So 12.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Nico!
> Gegeben ist ein Dreieck mit den Seiten a,b,c.
> Seite b ist ein Meter länger als Seite a.
> Seite c ist ein Meter kürzer als Seite a.
> Der größte Winkel im Dreieck ist doppelt so groß wie der
> kleinste Winkel.
> Wie lang ist Seite a?
> (Es wird eine elegante Lösung gesucht, also nur ein paar
> Zeilen, keine Seitenlange Rechnung).
Zunächst eine Vorüberlegung: Mit den üblichen Bezeichnungen muß [mm] \beta [/mm] zwischen 90° und 72° liegen, weil bei 90° [mm] \gamma [/mm] = 45° ist und [mm] \alpha [/mm] dann auch, also a = c wäre. Bei [mm] \beta [/mm] = 72° ist [mm] \gamma [/mm] = 36° und [mm] \alpha [/mm] = 72°, also a = b. a soll aber der Mittelwert von b und c sein.
Nun geht es richtig los: Wir fertigen eine *Planfigur* an und zeichnen die Winkelhalbierende von [mm] \beta [/mm] ein. Die soll b = [mm] \overline{AC} [/mm] in D schneiden. Jetzt ist das Dreieck ABD zum Dreieck ACB ähnlich, weil die entsprechenden Winkel gleich sind. (Das ist Elementargeometrie.) Dann gilt für die Seitenverhältnisse, wenn x = [mm] \overline{BD} [/mm] ist,
a-1 : a : a+1 = a+1-x : x : a-1
Damit kann ich aus der hinteren Proportion x = [mm] \bruch{a(a-1)}{a+1} [/mm] bestimmen und in die äußere Proportion einsetzen. Das gibt
[mm] \bruch{a-1}{a+1} [/mm] = [mm] \bruch{a+1-\bruch{a(a-1)}{a+1}}{a-1}
[/mm]
Und das ergibt nach a aufgelöst a = 5.
Die Kontrolle mit dem Cosinussatz ergibt für die Winkel [mm] cos\beta [/mm] = [mm] \bruch{5}{40}, [/mm] also [mm] \beta [/mm] = 82,8° und entsprechend [mm] cos\gamma [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] und [mm] \gamma [/mm] = 41,4°.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Kosinussatz