Länge von Nägeln < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Die Längen einer bestimmten Sorte von Schraubnägeln seien als zufällig angenommen. Zur Wahl einer geeigneten Verpackungsschachtel ist ein oberer und unterer Grenzwert gesucht derart, dass mit einer Sicherheit von 90% mindestens 80% aller Schraubnägel Längen zwischen diesen Grenzwerten aufweisen.
Wie groß muss eine Stichprobe von Nägeln mit Längen [mm] $X_1,...,X_n$ [/mm] gewählt werden, damit [mm] $X_{(1)}$ [/mm] und [mm] $X_{(n)}$ [/mm] als untere bzw. obere Grenzen verwendet werden können? |
Hallo, da ich erstmal schreibfaul bin ( ) sage ich erstmal nur mein Ergebnis und wenn es falsch ist, bin ich gerne bereit, mehr zu posten. Ist das okay?
Ich habe heraus, daß man einen Stichprobenumfang von 29 benötigt.
[mm] \textbf{Edit: Ergebnisweg ergänzt und dabei auf andere Lösung gekommen}
[/mm]
Also Grundlage meines berechneten Ergebnisses ist ![[]](/images/popup.gif) dieser Textausschnitt aus Büning/Trenkler zu Toleranzbereichen.
Ich weiß nicht, ob ich die ganze Herleitung hier aufschreiben muss, weil es ja in dem Link zu lesen ist, wie ich darauf komme.
Am Ende steht da jedenfalls:
Wir müssen also nur noch die Gleichung [mm] $F(l-k-1)=1-\alpha$ [/mm] bezüglich $k$ und $l$ lösen.
Wobei ich ja an $n$ interessiert bin und schon weiß, daß $k=1, l=n$.
Bei $F$ handelt es sich, so wird in dem Link hergeleitet, um die Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit den Parametern $n$ (das suche ich) und [mm] $\beta$ [/mm] (das ist bei mir 0,8).
Ich muss also die Gleichung
$F(n-2)=0,9$ lösen und das habe ich über Approximation per Normalverteilung gemacht (wobei ich mir nicht sicher bin, ob das zulässig ist, weil man ja eben gerade den Stichprobenumfang nicht kennt und man diese Approximation ja eigentlich genau dann macht, wenn man weiß, daß man einen großen Stichprobenumfang hat):
[mm] $F(n-2)=\sum_{k=0}^{n-2}\binom{n}{k}0,8^{k}0,2^{n-k}$
[/mm]
[mm] $\approx \Phi\left(\frac{n-2+0,5-n\cdot 0,8}{0,4\sqrt{n}}\right)-\Phi\left(\frac{0-0,5-n\cdot 0,8}{0,4\sqrt{n}}\right)=0,9$
[/mm]
Und dann habe ich mir mal in der Tabellierung der Werte für die Standardnormalverteilung angesehen, für welchen Wert x denn ungefähr gilt, daß [mm] $\Phi(x)=0,9$. [/mm] Das ist für $x=1,29$ der Fall.
Also habe ich mal ausgerechnet:
[mm] $\frac{n-2+0,5-n\cdot 0,8}{0,4\sqrt{n}}=1,29\Leftrightarrow [/mm] n=18,63$
Es käme also $n=18$ oder $n=19$ in Frage.
In beiden Fällen ergibt sich, daß
[mm] $\Phi\left(\frac{0-0,5-n\cdot 0,8}{0,4\sqrt{n}}\right)=0$
[/mm]
Es bleibt also zu vergleichen:
[mm] $\Phi\left(\frac{18-2+0,5-18\cdot 0,8}{0,4\sqrt{18}}\right)=\Phi(1,24)=0,89251$
[/mm]
und
[mm] $\Phi\left(\frac{19-2+0,5-19\cdot 0,8}{0,4\sqrt{19}}\right)=\Phi(1,32)=0,90824$
[/mm]
Ich würde mich dann entscheiden für $n=19$.
Mein Ergebnis lautet also jetzt, daß der Stichprobenumfang 19 sein muss.
Und ich hoffe, ich habe das richtig ermittelt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Fr 04.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Wenn ich doch lieber ausführlicher sein soll, einfach sagen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo mikexx,
überleg doch mal: warum sollte ein potentieller Helfer deine Aufgabe selber durchrechnen? DU hast doch eine Frage dazu, bzw. willst wissen, ob deine Überlegungen richtig sind.
Dir wird sicher schneller geholfen, wenn du deinen Rechenweg postest. Dann sieht man auch, wo genau ein eventueller Fehler steckt.
Das ist nicht böse gemeint, aber DU willst ja etwas vom Forum, dann solltest DU auch erst mal "die Arbeit" machen und deinen Rechenweg beschreiben.
Also, auf geht's! 
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Sa 05.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Okay, ich ergänze meine Rechnung bzw. meinen Lösungsweg in der Frage (s. dann dortiges Edit). Ich sehe Dein Argument ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:57 Sa 05.05.2012 | | Autor: | mikexx |
So, jetzt hab ich meinen Lösungsweg in der Frage oben ergänzt.
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Hallo,
> Die Längen einer bestimmten Sorte von Schraubnägeln seien
> als zufällig angenommen. Zur Wahl einer geeigneten
> Verpackungsschachtel ist ein oberer und unterer Grenzwert
> gesucht derart, dass mit einer Sicherheit von 90%
> mindestens 80% aller Schraubnägel Längen zwischen diesen
> Grenzwerten aufweisen.
>
> Wie groß muss eine Stichprobe von Nägeln mit Längen
> [mm]X_1,...,X_n[/mm] gewählt werden, damit [mm]X_{(1)}[/mm] und [mm]X_{(n)}[/mm] als
> untere bzw. obere Grenzen verwendet werden können?
> Also Grundlage meines berechneten Ergebnisses ist
> dieser
> Textausschnitt aus Büning/Trenkler zu Toleranzbereichen.
> Ich weiß nicht, ob ich die ganze Herleitung hier
> aufschreiben muss, weil es ja in dem Link zu lesen ist, wie
> ich darauf komme.
>
> Am Ende steht da jedenfalls:
>
> Wir müssen also nur noch die Gleichung [mm]F(l-k-1)=1-\alpha[/mm]
> bezüglich [mm]k[/mm] und [mm]l[/mm] lösen.
Der Textausschnitt passt genau zu deiner Aufgabe und diese ist damit lösbar.
> Wobei ich ja an [mm]n[/mm] interessiert bin und schon weiß, daß
> [mm]k=1, l=n[/mm].
Genau.
> Bei [mm]F[/mm] handelt es sich, so wird in dem Link hergeleitet, um
> die Verteilungsfunktion einer binomialverteilten
> Zufallsvariablen mit den Parametern [mm]n[/mm] (das suche ich) und
> [mm]\beta[/mm] (das ist bei mir 0,8).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich muss also die Gleichung
>
> [mm]F(n-2)=0,9[/mm] lösen und das habe ich über Approximation per
> Normalverteilung gemacht (wobei ich mir nicht sicher bin,
> ob das zulässig ist, weil man ja eben gerade den
> Stichprobenumfang nicht kennt und man diese Approximation
> ja eigentlich genau dann macht, wenn man weiß, daß man
> einen großen Stichprobenumfang hat):
>
> [mm]F(n-2)=\sum_{k=0}^{n-2}\binom{n}{k}0,8^{k}0,2^{n-k}[/mm]
>
> [mm]\approx \Phi\left(\frac{n-2+0,5-n\cdot 0,8}{0,4\sqrt{n}}\right)-\Phi\left(\frac{0-0,5-n\cdot 0,8}{0,4\sqrt{n}}\right)=0,9[/mm]
Die Approximation ist richtig durchgeführt.
> Und dann habe ich mir mal in der Tabellierung der Werte
> für die Standardnormalverteilung angesehen, für welchen
> Wert x denn ungefähr gilt, daß [mm]\Phi(x)=0,9[/mm]. Das ist für
> [mm]x=1,29[/mm] der Fall.
>
> Also habe ich mal ausgerechnet:
>
> [mm]\frac{n-2+0,5-n\cdot 0,8}{0,4\sqrt{n}}=1,29\Leftrightarrow n=18,63[/mm]
>
> Es käme also [mm]n=18[/mm] oder [mm]n=19[/mm] in Frage.
>
> In beiden Fällen ergibt sich, daß
>
> [mm]\Phi\left(\frac{0-0,5-n\cdot 0,8}{0,4\sqrt{n}}\right)=0[/mm]
>
> Es bleibt also zu vergleichen:
>
> [mm]\Phi\left(\frac{18-2+0,5-18\cdot 0,8}{0,4\sqrt{18}}\right)=\Phi(1,24)=0,89251[/mm]
>
> und
>
> [mm]\Phi\left(\frac{19-2+0,5-19\cdot 0,8}{0,4\sqrt{19}}\right)=\Phi(1,32)=0,90824[/mm]
>
>
> Ich würde mich dann entscheiden für [mm]n=19[/mm].
Das habe ich nicht mehr nachgerechnet.
Zu deiner Frage: Am Ergebnis n = 19 siehst du, dass $n$ noch ziemlich klein ist, und daher bei der Approximation große Fehler aufgetreten sein können. Dazu trägt auch bei, dass durch [mm] $\beta [/mm] = 0.8$ eine relativ unsymmetrische Verteilung vorliegt.
Wieso nutzt du nicht einfach die Tabellen einer kumulierten Binomialverteilung (also ohne Approximation?). Aus dieser Tabelle lese ich n = 14 ab.
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 05.05.2012 | | Autor: | mikexx |
> Wieso nutzt du nicht einfach die Tabellen einer kumulierten
> Binomialverteilung (also ohne Approximation?). Aus
> dieser
> Tabelle lese ich n = 14 ab.
Ganz ehrlich? Weil ich zu blöd bin, die Tabelle richtig zu lesen. Wie liest Du dort n=14 ab?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Sa 05.05.2012 | | Autor: | dennis2 |
hallo steppenhahn,
kann es sein dass du aus versehen für
(i)$F(n-2)=0,8$
in der tabelle nachgeschaut hast und nicht für
(ii)$F(n-2)=0,9$?
wenn ich für (i) nachschaue komme ich auch auf n=14, wenn ich für (ii) nachschaue auf n=18.
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Hallo Dennis,
> kann es sein dass du aus versehen für
>
> (i)[mm]F(n-2)=0,8[/mm]
>
> in der tabelle nachgeschaut hast und nicht für
>
> (ii)[mm]F(n-2)=0,9[/mm]?
>
>
>
> wenn ich für (i) nachschaue komme ich auch auf n=14, wenn
> ich für (ii) nachschaue auf n=18.
Du hast völlig recht.....
Ich habe falsch abgelesen.
Stefan
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Hallo,
hat sich die Frage mit der Korrektur von dennis2 schon geklärt?
Du musst auf der 4. Seite gucken. Dich interessieren die grau hinterlegten Wahrscheinlichkeiten unten an der Tabelle, da steht irgendwo 0.8.
Dann musst du für jedes n rechts nachschauen, ob bei k = n-2 ein Wert <= 0.1 = 1 - 0.9 steht.
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:58 Sa 05.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Danke, das mit dem Ablesen hat sich nun geklärt.
Aber eine Frage habe ich noch zu dem verlinkten Textausschnitt von Brüning/Trenkler.
Dort wird für das Kapitel über "Toleranzbereiche" ja angenommen, daß die Grundgesamtheit gemäß F stetig verteilt ist, wobei F streng monoton ist.
Kann ich das für meine Aufgabe einfach so übernehmen/ annehmen?
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Hallo,
> Danke, das mit dem Ablesen hat sich nun geklärt.
>
> Aber eine Frage habe ich noch zu dem verlinkten
> Textausschnitt von Brüning/Trenkler.
>
> Dort wird für das Kapitel über "Toleranzbereiche" ja
> angenommen, daß die Grundgesamtheit gemäß F stetig
> verteilt ist, wobei F streng monoton ist.
>
> Kann ich das für meine Aufgabe einfach so übernehmen/
> annehmen?
In der Aufgabe steht: "Die Längen... seien als zufällig angenommen".
Das ist wirklich eine sehr ungenaue Angabe (die ich erst übersehen hatte), aus der man die Voraussetzungen des Kapitels nicht schließen kann.
Ich würde es trotzdem benutzen, weil ich nicht wüsste, wie man das sonst berechnen sollte. Wenn du nur iid. annehmen darfst, kannst du nicht viel über die Ordnungsstatistiken aussagen.
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Sa 05.05.2012 | | Autor: | mikexx |
Das ist nämlich auch mein Problem: Ich wüsste ebenfalls nicht, womit ich das sonst ausrechnen könnte.
Ich habe mal den Fragesteller angeschrieben, ob ich die Voraussetzungen treffen kann oder nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 07.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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