Länge von f < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 04:02 So 22.11.2009 | | Autor: | T_sleeper |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Länge der Raumkurve [mm] f(x)=\sqrt{r^2-x^2}, [/mm] a=0, b=r mit r>0 mit folgender Formel:
[mm] L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^{2}(x)} [/mm] dx. |
Hallo,
ich habe hier echt Probleme.
Ich habe das Integral erstmal mit dem Computer berechnet. Es ergeben sich bei Bestimmung einer Stammfunktion immer Nullen irgendwo im Nenner oder beim Logarithmus, sodass man es nicht ausrechnen kann. Habs per Hand versucht und es ergibt sich das gleiche Problem. Was mache ich falsch.
Muss man vielleicht eine andere Formel zur Längenberechnung benutzen?
Die angegebene Formel wurde nicht in der Aufgabenstellung genannt, sondern ich habe sie mir selbst rausgesucht. Allerdings wurde mit einem Kommentar auf genau diese Formel verwiesen.
Wo liegt der Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:07 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Berechnen Sie die Länge der Raumkurve [mm]f(x)=\sqrt{r^2-x^2},[/mm]
> a=0, b=r mit r>0 mit folgender Formel:
> [mm]L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'^{2}(x)}[/mm] dx.
>
> ich habe hier echt Probleme.
> Ich habe das Integral erstmal mit dem Computer berechnet.
> Es ergeben sich bei Bestimmung einer Stammfunktion immer
> Nullen irgendwo im Nenner oder beim Logarithmus, sodass man
> es nicht ausrechnen kann. Habs per Hand versucht und es
> ergibt sich das gleiche Problem. Was mache ich falsch.
Schreib es doch mal auf. Dann koennen wir dir sagen wo das Problem liegt.
> Muss man vielleicht eine andere Formel zur
> Längenberechnung benutzen?
Man muss vermutlich geschickt das Integral ausrechnen.
LG Felix
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Gut ich schreib es mal so weit auf, wie ich gekommen bin:
Es ist [mm] f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}.
[/mm]
Also:
[mm] L=\int_{0}^{r}\sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}})^{2}}dx
[/mm]
[mm] =\int_{0}^{r}\sqrt{\frac{r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}dx
[/mm]
[mm] =r\int_{0}^{r}\frac{1}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}dx
[/mm]
Das Integral habe ich nun mit maple ausgerechnet und es ergibt:
[mm] \mbox{arctan}\left(\frac{x}{r^{2}-x^{2}}\right).
[/mm]
Also insgesamt:
[mm] L=r\left[\mbox{arctan}\left(\frac{x}{r^{2}-x^{2}}\right)\right]_{0}^{r}.
[/mm]
Nun kann ich aber r als obere Grenze nicht einsetzen, da dann im Nenner eine Null steht. Das ist das Problem.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 So 22.11.2009 | | Autor: | Dath |
Wan wird denn der Tangens eines Winkels gleich [mm]\infty[/mm]?
Aber bevor du das machst, schau dir noch mal die Berechnung deines Integrals auf. Vielleicht täusche ich mich, aber ich verstehe die zweite Zeile nicht ganz!
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> Wan wird denn der Tangens eines Winkels gleich [mm]\infty[/mm]?
> Aber bevor du das machst, schau dir noch mal die
> Berechnung deines Integrals auf. Vielleicht täusche ich
> mich, aber ich verstehe die zweite Zeile nicht ganz!
Zur zweiten Zeile:
[mm] \int_{0}^{r}\sqrt{1+(\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}})^{2}}dx=\int_{0}^{r}\sqrt{1+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}dx=\int_{0}^{r}\sqrt{\frac{r^{2}-x^{2}}{ r^{2}-x^{2}}+\frac{x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}dx=\int_{0}^{r}\sqrt{\frac{r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}dx.
[/mm]
Was du mir mit dem [mm] \infty [/mm] sagen willst, verstehe ich nicht so ganz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 22.11.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Mir wird als Integral [mm] arcsin(\bruch{x}{r}) [/mm] geliefert. Hast du dich vielleicht vertippt? Aber damit kannst du auf alle Fälle rechnen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Mir wird als Integral [mm]arcsin(\bruch{x}{r})[/mm] geliefert. Hast
> du dich vielleicht vertippt? Aber damit kannst du auf alle
> Fälle rechnen.
Ja, mit der Stammfunktion geht's gut.
LG Felix
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