Längen von Kurven berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Länge der folgenden Kurve mit der Parameterdarstellung [mm] \overrightarrow{x}:[0,\pi/2] \to \IR^{2}
[/mm]
[mm] a)\overrightarrow{x}(t)=(cos^3t,sin^3t)^T [/mm] (Astroide)
[mm] b)\overrightarrow{x}(t)=(e^{1/2}cost,e^{1/2}sin)^T [/mm] (logarithmische Spirale)
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Hallo,
ich komme leider bei diesen Aufgaben nicht weiter und hoffe daher auf eure Hilfe.
zu a) ich habe erste einmal die Parameterdarstellung abgeleitet und bekam das [mm] raus:\overrightarrow{x}(t)'=\vektor{-3cos^2t*sint \\ 3sin^2t*cost}
[/mm]
diese Ableitung habe ich dann in Betrag gesetzt und bekam das raus: [mm] \parallel\overrightarrow{x}(t)\parallel=3|sint*cost|
[/mm]
und jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe und zwar die Veränderung am Integral:
[mm] L_{c}=\integral_{0}^{2\pi}{3*|sint*cost| dt}= [/mm] 4*3 [mm] \integral_{0}^{\pi/2}{sint*cost dt} [/mm]
Woher kommt den jetzt die 4 her? und warum wird aus der [mm] 2\pi=\pi/2??? [/mm]
zub) dort bin ich genauso vorgegangen, obwohl ich dort schon bei Betrag gescheitert bin meine Lösung sieht, wie folgt aus:
[mm] \parallel\overrightarrow{x}(t)\parallel=\wurzel{(e^{t/2}[(1/2cost-sint)^2 + (1/2sint+cost)^2]}
[/mm]
bei der Musterlösung allerdings wird anstatt der [mm] e^{t/2} e^t [/mm] geschrieben und gleichzeitig wird das wurzelzeichen weggemacht, warum??? die Musterlösung hat also diese Form:
[mm] \parallel\overrightarrow{x}(t)\parallel=(e^t[(1/2cost-sint)^2 [/mm] + [mm] (1/2sint+cost)^2])^{1/2}
[/mm]
wie hängt das jetzt zusammen??
diese Frage habe ich in keinen anderen Forum gestellt
gruss blumich
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Hallo
> Berechnen Sie die Länge der folgenden Kurve mit der
> Parameterdarstellung [mm]\overrightarrow{x}:[0,\pi/2] \to \IR^{2}[/mm]
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> [mm]a)\overrightarrow{x}(t)=(cos^3t,sin^3t)^T[/mm] (Astroide)
>
> [mm]b)\overrightarrow{x}(t)=(e^{1/2}cost,e^{1/2}sin)^T[/mm]
> (logarithmische Spirale)
>
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> Hallo,
>
> ich komme leider bei diesen Aufgaben nicht weiter und hoffe
> daher auf eure Hilfe.
>
> zu a) ich habe erste einmal die Parameterdarstellung
> abgeleitet und bekam das
> [mm]raus:\overrightarrow{x}(t)'=\vektor{-3cos^2t*sint \\ 3sin^2t*cost}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") gut
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> diese Ableitung habe ich dann in Betrag gesetzt und bekam
> das raus:
> [mm]\parallel\overrightarrow{x}(t)\parallel=3|sint*cost|[/mm]
>
> und jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe und zwar
> die Veränderung am Integral:
>
> [mm]L_{c}=\integral_{0}^{2\pi}{3*|sint*cost| dt}=[/mm] 4*3
> [mm]\integral_{0}^{\pi/2}{sint*cost dt}[/mm]
>
> Woher kommt den jetzt die 4 her? und warum wird aus der
> [mm]2\pi=\pi/2???[/mm]
Anstatt, von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] zu integrieren, kann man einfach von 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] integrieren und dann das ganze 4 Mal nehmen... Mach dir ein Bild der Kurve, oder lass sie plotten, dann siehst du es bestimmt :)
>
> zub) dort bin ich genauso vorgegangen, obwohl ich dort
> schon bei Betrag gescheitert bin meine Lösung sieht, wie
> folgt aus:
>
> [mm]\parallel\overrightarrow{x}(t)\parallel=\wurzel{(e^{t/2}[(1/2cost-sint)^2 + (1/2sint+cost)^2]}[/mm]
>
> bei der Musterlösung allerdings wird anstatt der [mm]e^{t/2} e^t[/mm]
> geschrieben und gleichzeitig wird das wurzelzeichen
> weggemacht, warum??? die Musterlösung hat also diese
> Form:
>
> [mm]\parallel\overrightarrow{x}(t)\parallel=(e^t[(1/2cost-sint)^2[/mm]
> + [mm](1/2sint+cost)^2])^{1/2}[/mm]
>
> wie hängt das jetzt zusammen??
Dieses [ blabla [mm] ]^{\bruch{1}{2}} [/mm] am schluss bedeutet doch gerade, dass die Wurzel gezogen wird. Also [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
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> diese Frage habe ich in keinen anderen Forum gestellt
>
> gruss blumich
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Sa 05.09.2009 | | Autor: | blumich86 |
hallo,
erstmal danke für deine Antwort.
zu a) heisst das also das ich, dass auch ganz normal über [mm] [0,\pi/2] [/mm] integrieren kann??
zu b) ja das stimmt schon aber was mich halt verwirrt ist die tatsache das aus [mm] e^{t/2}= e^t [/mm] wird, warum wird das so??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mo 21.09.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Blumich!
zu b) die Gleichung heisst sicherlich [mm] $x(t)=\vektor{e^{\frac{t}{2}}\cos t\\e^{\frac{t}{2}}\sin t}$
[/mm]
Dann mußt du bei Bildung der Norm (Betrag) das [mm] $e^{\frac{t}{2}}$ [/mm] auch mit quadrieren also:
[mm] $||x'(t)||=\sqrt{\left(e^{\frac{t}{2}}(\frac{1}{2}\cos t-\sin t)\right)^2+\left(e^{\frac{t}{2}}(\frac{1}{2}\sin t+\cos t)\right)^2}=\sqrt{e^t\left((\frac{1}{2}\cos t-\sin t)^2+(\frac{1}{2}\sin t+\cos t)^2\right)}$ [/mm]
mFg iks
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