Längste wachsende Teilfolge < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $x_1, [/mm] ..., [mm] x_n$ [/mm] unabhängig Zufallsvariablen, gleichförmig verteilt auf $[0,1]$. Sei $X$ die Länge der längsten steigenden Teilfolge der Folge [mm] $x_1, [/mm] ..., [mm] x_n$. [/mm]
Zeige, dass für den Erwartungswert gilt: $E[X] [mm] \ge (1-o(1))(1-e^{-1}) \sqrt{n}$. [/mm] |
Hallo Forum,
mittels Lemma von Erdös, wonach die Folge wenigstens eine steigende oder eine fallende Folge der Länge [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] besitzt, habe ich eine zweite Folge definiert [mm] $y_1 [/mm] := [mm] 1-x_1, [/mm] ..., [mm] y_n [/mm] := [mm] 1-x_n$. [/mm] Wenn $Y$ nun die Länge der längsten steigenden Teilfolge der zweiten Folge ist ergibt sich: [mm] $P[\{X \ge \sqrt{n} \}\bigcup\{ Y \ge \sqrt{n}\}] [/mm] = 1$. Daraus kann ich dann folgern, dass $E[X] [mm] \ge \frac{1}{2} \sqrt{n}$. [/mm] Das ist leider eine schwächere untere Grenze.
Hat jemand eine Idee? Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß,
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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