Lage von Ebene und Punkt < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Do 24.01.2013 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | geg.: [mm] E_1=\vec{x}\cdot(-1,1,2)=1 [/mm] und P mit Ortsvektor [mm] \vec{y}=(1,2,3)
[/mm]
Liegt [mm] E_1 [/mm] zwischen [mm] \vec{0} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] ? |
Hallo, ich muss mich leider der Teilaufgabe aus dem Artikel https://matheraum.de/read?t=889704 nochmal widmen.
Eine Musterlösung habe ich vorliegen:
Für [mm] E_1 [/mm] gilt: [mm] \vec{y} \cdot (-1,1,2)=(1,2,3)\cdot(-1,1,2)=7>1>0 [/mm] und damit liegt [mm] E_1 [/mm] "echt" zwischen [mm] \vec{0} [/mm] und [mm] \vec{y}.
[/mm]
Nun sind ja die "rechten Seiten" also die Werte 1 und 7 nicht die Abstände, da hier keine normierte Ebenengleichung vorliegt, richtig?
Da frage ich mich doch: Was sagen die Werte 1 und 7 überhaupt aus und wie man auf diese Lösung kommt? Ich habe mir etliche geommetrische Deutungen zum Skalarprodukt angeschaut, jedoch ohne Erfolg auf Bezug zu dieser Lösung.
Ich kann nur eine Antwort zitieren, die mir sagt, dass wenn man von der allgemeinen Ebenengleichung:
[mm] \vec{x}\cdot\vec{n}=d [/mm]
ausgeht, dann ist bei größerem d auch der Abstand der Ebene größer, also ist d propotional zum Abstand, vorausgesetzt [mm] \vec{n} [/mm] bleibt gleich.
Könntet Ihr mir dabei nochmal helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Do 24.01.2013 | | Autor: | lzaman |
Man man man, manchmal muss man halt die Fragestellung aufschreiben und sieht dann das Ergebnis.
Ich denke, dass es mit den Projektionen zu tun hat:
Stellt man sich nun eine Hilfsebene [mm] E_y [/mm] mit dem Punkt [mm] P_y [/mm] mit dem Ortsvektor [mm] \vec{y} [/mm] vor, so ist d die Länge der Projektion des Vektors [mm] \vec{y} [/mm] auf den Normalenvektor [mm] \vec{n}. [/mm] Somit kann man die Lage von Punkt und Ebene [mm] E_1 [/mm] ohne Abstände angeben. Folgendes Bild in 2D sollte es veranschaulichen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Um eine Überprüfung meiner Annahme wäre ich sehr dankbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Fr 25.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Die Gerade durch O und P hat die Gleichung:
[mm] \vec{x}= t*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Wenn Du den Schnittpunkt S dieser Geraden mit der Ebene berechnest, so bekommst Du
S(1/7 | 2/7 |3/7).
Anschaulich bedeutet das: wenn Du von O aus entlang der Geraden spazierst, landest Du nach 1/7 Meter im Punkt S, wenn Du weitergehst und von O aus 1 Meter zurückgelegt hast, bist Du in P.
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Fr 25.01.2013 | | Autor: | lzaman |
Ja danke, das hilft mir, aber was ist mit der Annahme, dass das d den Betrag der Projektion auf den Normalenvektor darstellt? Ist das totaler Murks? Falls ja, so muss ich es schnell wieder vergessen.
Hab dazu mal das ![[]](/images/popup.gif) hier gefunden, ich hoffe ich habs richtig gedeutet?
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Hallo lzaman,
dein Link ist vom Übel: er hat bei mir einen Totalabsturz des IE9 verursacht.
Für das d aus der Ebenengleichung gilt doch einfach
[mm] |d|=|\vec{n}|*|\vec{p}|*cos\phi
[/mm]
[mm] =|\vec{n}|*D
[/mm]
mit [mm] \phi: [/mm] Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Orstvektor von p und D: Abstand der Ebene zum Ursprung.
Insofern kann man es m.E. nicht als irgendeine Projektion auffassen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Mi 30.01.2013 | | Autor: | lzaman |
Hallo nochmal, leider habe ich das Gefühl, dass ich eine Welle los getreten habe bezüglich meiner Annahme. Ich habe da noch etwas beim googeln gefunden:
noch ein Link
Ich kann mir das nämlich mit der Projektion sehr gut vorstellen und deute ich das wirklich so falsch? Ich erhoffe mir wirklich eine solide Antwort... Evtl ist meine Wortwahl bezüglich meiner selbst erabeiteten Zeichnung (Deutung) falsch?
Vielleicht kann jemand mit seinem Expertenwissen die beiden Links besser deuten als ich, so bitte ich um Hilfestellung.
Danke, ihr seid Super!
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Hallo,
Du hast das völlig richtig verstanden und an Deinem Bild verdeutlicht!
Hast Du zwei Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}, [/mm] so ist
[mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}| \cos\varphi,
[/mm]
wobei [mm] \varphi [/mm] der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.
Es ist nun [mm] |\vec{b}| \cos\varphi [/mm] gerade die Länge der Projektion von [mm] \vec{b} [/mm] auf [mm] \vec{a}, [/mm] positiv für [mm] \varphi<90°, [/mm] negativ für [mm] \varphi>90°.
[/mm]
Ebenso ist [mm] |\vec{a}| \cos\varphi [/mm] gerade die Länge der Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b}, [/mm] positiv für [mm] \varphi<90°, [/mm] negativ für [mm] \varphi>90°.
[/mm]
Also haben wir
[mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*"Länge [/mm] der senkrechten Projektion von [mm] \vec{b} [/mm] auf [mm] \vec{a}".
[/mm]
LG Angela
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