Lage von Geraden u. Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Gerade g: [mm] \overrightarrow{x}= \vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+ t*\vektor{3 \\ 0 \\ -5} [/mm] bzw. h= [mm] \overrightarrow{x}= \vektor{2 \\ 4 \\ 6}+ t*\vektor{6 \\ 3 \\ 12} [/mm] zur Ebene E orthogonal ist.
a) E: [mm] 2x_{1}+x_{2}+4x_{3}= [/mm] 5
b) E: [mm] 9x_{1}+7x_{3}= [/mm] 1
c) E: [mm] 2x_{2}= [/mm] -10
etc. |
Hallo MatheForum!
Habe Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgaben, trotz bereits angegebener Lösungen.
Auf dem Lösungsblatt steht Folgendes:
a) nur h orthogonal zu E
b) keine sind orthogonal
c) nur h orthogonal zu E
Trotzdem weiß ich nicht, wie man auf diese Lösungen kommt.
In meinem Mathebuch steht: "Eine Gerade g und eine Ebene E sind zueinander orthogonal, wenn ein Richtungsvektor der Geraden zu den Spannvektoren der Ebene orthogonal ist."
Wie kann ich diese Informationen verarbeiten?
Ich habe mir die Werte angesehen und bemerkt, dass bei a):
der Normalenvektor der Ebene [mm] \overrightarrow{n}= \vektor{2 \\ 1 \\ 4} [/mm] ist.
Und der Normalenvektor ergibt sich ja aus den Stützvektoren der Ebene (?). Jedenfalls ergibt das Kreuzprodukt der beiden Stützvektoren besagter Normalenvektor.
Und der Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{u} [/mm] von h ist ein Vielfaches von [mm] \overrightarrow{n}:
[/mm]
[mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 12} [/mm] = 3* [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
Daher hätte ich jetzt die Schlussfolgerung gezogen: h ist orthogonal zu E – was ja auch auf dem Lösungblatt steht.
Ist mein Gedankengang richtig?
Ist dieser "Nachweis" gültig (oder nur Zufall)?
Bei b) ist nämlich der Richtungsvektor beider Geraden kein Vielfaches von [mm] \overrightarrow{n}. [/mm] Auch hier würde ich also mit der gegebenen Lösung übereinstimmen.
Problem bei c):
Stützvektor von g [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -5} [/mm] ist kein Vielfaches von [mm] \overrightarrow{n}= \vektor{0 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
Das Lösungsblatt sagt hier aber: g [mm] \perp [/mm] E
Ist mein "Nachweis" also tatsächlich falsch?
Wie geht es richtig?
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Schon im Voraus besten Dank dafür!
LG Eli
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Hallo Elisabeth17,
> Untersuchen Sie, ob die Gerade g: [mm]\overrightarrow{x}= \vektor{-2 \\ 0 \\ 1}+ t*\vektor{3 \\ 0 \\ -5}[/mm]
> bzw. h= [mm]\overrightarrow{x}= \vektor{2 \\ 4 \\ 6}+ t*\vektor{6 \\ 3 \\ 12}[/mm]
> zur Ebene E orthogonal ist.
> a) E: [mm]2x_{1}+x_{2}+4x_{3}=[/mm] 5
> b) E: [mm]9x_{1}+7x_{3}=[/mm] 1
> c) E: [mm]2x_{2}=[/mm] -10
> etc.
> Hallo MatheForum!
>
> Habe Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgaben, trotz
> bereits angegebener Lösungen.
>
> Auf dem Lösungsblatt steht Folgendes:
> a) nur h orthogonal zu E
> b) keine sind orthogonal
> c) nur h orthogonal zu E
>
> Trotzdem weiß ich nicht, wie man auf diese Lösungen
> kommt.
>
> In meinem Mathebuch steht: "Eine Gerade g und eine Ebene E
> sind zueinander orthogonal, wenn ein Richtungsvektor der
> Geraden zu den Spannvektoren der Ebene orthogonal ist."
>
> Wie kann ich diese Informationen verarbeiten?
>
> Ich habe mir die Werte angesehen und bemerkt, dass bei a):
> der Normalenvektor der Ebene [mm]\overrightarrow{n}= \vektor{2 \\ 1 \\ 4}[/mm]
> ist.
>
> Und der Normalenvektor ergibt sich ja aus den
> Stützvektoren der Ebene (?). Jedenfalls ergibt das
> Kreuzprodukt der beiden Stützvektoren besagter
> Normalenvektor.
>
> Und der Richtungsvektor [mm]\overrightarrow{u}[/mm] von h ist ein
> Vielfaches von [mm]\overrightarrow{n}:[/mm]
> [mm]\vektor{6 \\ 3 \\ 12}[/mm] = 3* [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 4}[/mm]
>
> Daher hätte ich jetzt die Schlussfolgerung gezogen: h ist
> orthogonal zu E – was ja auch auf dem Lösungblatt
> steht.
>
> Ist mein Gedankengang richtig?
> Ist dieser "Nachweis" gültig (oder nur Zufall)?
>
> Bei b) ist nämlich der Richtungsvektor beider Geraden kein
> Vielfaches von [mm]\overrightarrow{n}.[/mm] Auch hier würde ich
> also mit der gegebenen Lösung übereinstimmen.
>
> Problem bei c):
> Stützvektor von g [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -5}[/mm] ist kein
> Vielfaches von [mm]\overrightarrow{n}= \vektor{0 \\ 3 \\ 0}[/mm]
>
> Das Lösungsblatt sagt hier aber: g [mm]\perp[/mm] E
Wahrscheinlich handelt es sich um einen Fehler in der Aufgabe/Lösung.
>
> Ist mein "Nachweis" also tatsächlich falsch?
> Wie geht es richtig?
So, wie es in Deinem Mathebuch steht.
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
> Schon im Voraus besten Dank dafür!
>
> LG Eli
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower, danke für deine Hilfe.
Aufgrund deiner Worte nehme ich an, dass ich mit meinen Überlegungen richtig liege.
LG Eli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Sabine818 |
Hallo Elisabeth,
deine Überlegungen sind richtig. Bei Aufgabe c würde ich [mm] $\overrightarrow{n}=\vektor{0\\1\\0}$ [/mm] benutzen.
Sabine
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