Lagebeziehung Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mo 04.05.2009 | | Autor: | overmas |
Ich wollte mal fragen ob jemand selbst, oder eine seite kennt, wo die untersuchung und wie man dabei vorgeht bei der untersuchung der lagebeziehung zwischen ebenen kennt?
In Bezug mögliche Lagen, Parallel, Ineinander, Schnittgerade?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Mo 04.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde wie folgt voregehen.
1. Prüfen, ob die Ebenen Paralle sind
die beiden Ebenen E und F sind genau dann parallel, wenn die Normalenvektoren parallel sind, was man relativ einfach ermitteln kann.
Sind Eund F parallel, könnten sie höchstens noch identisch sein, das ist per Punktprobe auch relativ schnell ermittelt.
Sind sie nicht parallel, gibt es eine Schnittgerade, die du am einfachsten bekommst, wenn du entweder eine Ebene in Parameterform in die andere (Normalen- oder Koordinatenform) einsetzt. Dann bekommst du einen Zusammenhang zwischen den beiden Parametern, und wenn du den in die Ebene einsetzt, und noch etwas zusammenfasst, hast du die Geradendarstellung.
[mm] E:\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}+\lambda*\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}+\mu*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}
[/mm]
F: [mm] n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=d
[/mm]
E in F
[mm] n_{1}(a_{1}+u_{1}\lambda+v_{1}\mu)+n_{2}(a_{2}+u_{2}\lambda+v_{2}\mu)+n_{3}(a_{3}+u_{3}\lambda+v_{3}\mu)=d
[/mm]
Daraus bekommst du z.B. [mm] \lambda=4\mu+5
[/mm]
Das kannst du dann wieder einsetzen:
Also:
[mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}+(4\mu+5)*\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}+\mu*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}+\mu*\vektor{4u_{1}\\4u_{2}\\4u_{3}}+5*\vektor{u_{1}\\u_{2}\\u_{3}}\mu*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}+\vektor{5u_{1}\\5u_{2}\\5u_{3}}\mu*\vektor{4u_{1}\\4u_{2}\\4u_{3}}+\mu*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}
[/mm]
[mm] \gdw\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\vektor{a_{1}+5u_{1}\\a_{2}+5u_{2}\\a_{3}+5u_{3}}+\mu*\left[\vektor{4u_{1}\\4u_{2}\\4u_{3}}+\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}\right]
[/mm]
[mm] \gdw\vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}}=\underbrace{\vektor{a_{1}+5u_{1}\\a_{2}+5u_{2}\\a_{3}+5u_{3}}}_{:=\vec{p}}+\mu*\underbrace{\vektor{4u_{1}+v_{1}\\4u_{2}+v_{2}\\4u_{3}+v_{3}}}_{:=\vec{w}}
[/mm]
Damit hast du dann die Schnittgerade der Form [mm] g:\vec{x}=\vec{p}+\mu*\vec{w}
[/mm]
Marius
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