Lagebeziehung: Gerade - Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 07.06.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo allerseits,
ich habe eine Frage bezüglich den Lagebeziehungen von einer Gerade zu einer Ebene.
[mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 4} [/mm] + r [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
[mm] E:\vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + s [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ -1} [/mm] + t [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
Die Gerade ist parallel zur Ebene; das habe ich durch ein lineares Gleichungssystem gelöst! Nun finde ich lineare Gleichungssysteme aber eigentlich eher kompliziert und da verrechne ich mich auch oft, aber wenn es nur um die Lagebeziehung geht, geht es auch einfacher:
Der Richtungsvektor der Geraden muss doch linear Abhängig zu den Richtungsvektoren der Ebene sein?
Also an diesem Beispiel sieht man ja, dass der Richtungsvektor der Geraden mit einem Richtungsvektor der Ebene gleich ist.
Reicht es IMMER, wenn ein Richtungsvektor der Geraden und NUR EIN Richtungsvektor der Ebene linear abhängig sind, um zu sagen, dass sie entweder parallel oder identisch sind?
mfG Phoney
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Ja! Das reicht schon aus. Allerdings wirst du diese Situation äußerst selten vorliegen haben.
Du hast ja selbst gesagt, dass es reicht, die lineare Abhängigkeit des Richtungsvektors g der Geraden und der Richtungsvektoren r und s der Ebene zu zeigen. Und wenn du nun schon herausgefunden hast, dass g ein Vielfaches, (bzw. gleich) von r oder s ist, dann ist damit ja schon gezeigt, dass g, r und s linear abhängig sind!
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Hi, Phoney,
wie TranVanLuu schon geschrieben hat, wird die Situation, dass der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches eines der beiden Richtungsvektoren der Ebene ist, nur selten auftreten.
Was also, wenn Ebene und Gerade parallel sind, aber der "schöne Fall" nicht vorliegt?
Nun, dann geht außer dem von Dir erwähnten Gleichungssystem noch zweierlei:
(1) Wenn Du die Determinante kennst, dann berechnest Du einfach die Determinante der drei Richtungsvektoren (einer aus der Geraden, zwei von der Ebene): Wenn =0 rauskommt => parallel; wenn nicht: Schnittpunkt!
(2) Wenn Du die Determinante nicht kennst, aber das Kreuzprodukt (= Vektorprodukt) dann gehst Du so vor:
Du berechnest das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene.
Der Vektor, der hier rauskommt, wird skalar mit dem Richtungsvektor der Geraden multipliziert. Und dann wie vorhin: Wenn =0 rauskommt => parallel; wenn nicht: Schnittpunkt.
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