Lagebeziehung von Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:00 Do 11.09.2008 | | Autor: | defjam123 |
Hallo Leute,
gehen wir mal davon aus, dass ich zwei ebenenschar in Parameterform gegeben hab. Wie erkenn ich nun, die gegenseitige Lage? Hab mich erinnert, dass wir die Determinante benutzt haben.
Gruss
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> Hallo Leute,
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> gehen wir mal davon aus, dass ich zwei ebenenschar in
> Parameterform gegeben hab. Wie erkenn ich nun, die
> gegenseitige Lage? Hab mich erinnert, dass wir die
> Determinante benutzt haben.
>
> Gruss
Meinst du zwei Ebenen oder wirklich zwei Ebenen-Scharen ??
Am besten gibst du auch ein konkretes Beispiel an !
LG
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Hallo,
ich mein eine Ebenen-schar. zum [mm] Bsp:E_t:\vec{x}\vektor{2 \\ 3 \\8 }+r\vektor{t \\ t+1\\-t}+s\vektor{-t \\ t\\-t} [/mm] und [mm] F_t:\vektor{2 \\ 4 \\ -1}+r\vektor{-t \\ -t\\t+1}+s\vektor{-t+1 \\ t\\t}
[/mm]
Da wir keinen Vektorprodukt benutzen dürfen würde ich es so machen. Erstmal die Determinante mit 3 Spannvektoren ausrechnen und dann die andere Determinante der anderen 3 Spannvektoren.
Wenn ich für t gleiche Werte erhalte, bedeutet es für dieses t geht, dass die beiden Ebenen entweder parallel oder identisch sind. Um zu prüfen ob sie identisch sind, setzt ich den stützvektor von [mm] E_t [/mm] gleich [mm] F_t. [/mm] Das setzt ich in ein lineares Gleichungsystem und kann schließlich aussagen das die Ebene [mm] E_t [/mm] identisch der Ebene [mm] F_t [/mm] ist, wenn der Stützvektor von [mm] E_t [/mm] ind [mm] F_t [/mm] ist.
Hab ich das so richtig gemacht, bzw geht es schneller. Aus welchem Grund kann ich mit der linearen Abhängigkeit von den Spannvektoren argumentieren. Geht es schneller?
Gruss
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> Hallo,
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> ich mein eine Ebenen-schar. zum [mm]Bsp:E_t:\vec{x}\vektor{2 \\ 3 \\8 }+r\vektor{t \\ t+1\\-t}+s\vektor{-t \\ t\\-t}[/mm]
> und [mm]F_t:\vektor{2 \\ 4 \\ -1}+r\vektor{-t \\ -t\\t+1}+s\vektor{-t+1 \\ t\\t}[/mm]
>
> Da wir keinen Vektorprodukt benutzen dürfen würde ich es so
> machen. Erstmal die Determinante mit 3 Spannvektoren
> ausrechnen und dann die andere Determinante der anderen 3
> Spannvektoren.
> Wenn ich für t gleiche Werte erhalte, bedeutet es für
> dieses t geht, dass die beiden Ebenen entweder parallel
> oder identisch sind. Um zu prüfen ob sie identisch sind,
> setzt ich den stützvektor von [mm]E_t[/mm] gleich [mm]F_t.[/mm] Das setzt ich
> in ein lineares Gleichungsystem und kann schließlich
> aussagen das die Ebene [mm]E_t[/mm] identisch der Ebene [mm]F_t[/mm] ist,
> wenn der Stützvektor von [mm]E_t[/mm] ind [mm]F_t[/mm] ist.
>
> Hab ich das so richtig gemacht, bzw geht es schneller. Aus
> welchem Grund kann ich mit der linearen Abhängigkeit von
> den Spannvektoren argumentieren. Geht es schneller?
>
> Gruss
O.K., das sind offensichtlich zwei Ebenenscharen.
Und ich denke, dass deine Ideen wohl richtig sind.
Aber was genau ist die Aufgabe ?
Wenn zum Beispiel gefragt ist: "Für welche Werte von t
ist [mm] E_t [/mm] parallel zu [mm] F_t [/mm] ?", dann würde ich gar nicht
unbedingt von zwei Ebenenscharen, sondern von einer
Schar von Ebenenpaaren sprechen !
Man könnte sich durchaus andere Fragen vorstellen,
zum Beispiel:
"Für welche Paare (t,u) ist [mm] E_t [/mm] parallel zu [mm] F_u [/mm] ?"
Dass bei einer solchen Aufgabe das Vektorprodukt
verboten sein soll, finde ich zwar etwas sonderbar,
aber man kann es ja mindestens zur Kontrolle der
Lösungen einsetzen.
Eigentlich müsste man sich zuallererst klar machen,
ob die angegebenen Gleichungen für jedes t tatsächlich
Ebenen darstellen - dass z.B. nie bloss Geraden heraus-
schauen können.
Wenn dies gewährleistet ist (wenn also die beiden
Spannvektoren von [mm] E_t [/mm] für alle t [mm] \in \IR [/mm] linear
unabhängig sind; und ebenso für [mm] F_t), [/mm] kann man die
Parallelität der Ebenen [mm] E_t [/mm] und [mm] F_t [/mm] so prüfen:
[mm] F_t [/mm] ist zu [mm] E_t [/mm] genau dann parallel, wenn die beiden
Systeme aus je drei Spannvektoren (zwei von [mm] E_t [/mm] und
einer von [mm] F_t) [/mm] linear abhängig sind. Und dies kann
man durch eine Determinantenrechnung prüfen
(Det =0 [mm] \gdw [/mm] Vektoren abhängig). Sollten sich für das
entstandene Gleichungssystem tatsächlich Lösungen
ergeben, muss man für diese noch testen, ob dann
vielleicht sogar [mm] E_t=F_t [/mm] ist, wie du schon argumentiert hast.
LG
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