Lageinvarianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Mi 24.02.2010 | | Autor: | hagen85 |
Hallo,
ich soll die Skaleninvarianz der Schiefe nachweisen. Die Schiefe ist ja definiert als: [mm] \alpha(x)=\bruch{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}.
[/mm]
Bei Skaleninvarianz gilt: Maßzahl M(X)=M(d*X), was also für [mm] \alpha [/mm] bedeuten [mm] wuerde:\alpha(dx)=\bruch{E[(dX-\mu)^3]}{(E[(dX-\mu)^2])^{3/2}}=\alpha(x)=\bruch{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}.
[/mm]
Soweit zur Idee, nun die Frage sieht jemand einen eleganten Weg das Ganze zu lösen ohne die Potenzen der Binome auflösen zu müssen? Denn das scheint mir ein bißchen umständlich.
VG Hagen
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich soll die Skaleninvarianz der Schiefe nachweisen. Die
> Schiefe ist ja definiert als:
> [mm]\alpha(x)=\bruch{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}.[/mm]
> Bei Skaleninvarianz gilt: Maßzahl M(X)=M(d*X), was also
> für [mm]\alpha[/mm] bedeuten
> [mm]wuerde:\alpha(dx)=\bruch{E[(dX-\mu)^3]}{(E[(dX-\mu)^2])^{3/2}}=\alpha(x)=\bruch{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}.[/mm]
> Soweit zur Idee, nun die Frage sieht jemand einen
> eleganten Weg das Ganze zu lösen ohne die Potenzen der
> Binome auflösen zu müssen? Denn das scheint mir ein
> bißchen umständlich.
>
> VG Hagen
Hallo Hagen,
die angegebene Formel stimmt so nicht ganz. Sie sollte
so lauten:
[mm] $\alpha(d*X)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{E[(d*X-E(d*X))^3]}{\left(Var(d*X)\right)^{3/2}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{E[(d*X-E(d*X))^3]}{\left(E(d*X-E(d*X))^2\right)^{3/2}}$
[/mm]
Jetzt geht's darum, zu zeigen, dass man diese Formel so
vereinfachen kann, dass im Endeffekt einfach alle "d" darin
verschwinden (bzw. durch "1" ersetzt werden können), sich
aber darüber hinaus gar nichts an der Formel ändert.
Für diese Vereinfachung kann man heranziehen:
1.) die Linearität des Erwartungswertes: $\ E(d*X)\ =\ d*E(X)$
1.) die Linearität der Varianz: $\ Var(d*X)\ =\ d*Var(X)$
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 24.02.2010 | | Autor: | hagen85 |
Vielen Dank, manchmal ist es so einfach. 
Vg Hagen
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