Lagrange-Polynom < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mo 26.05.2014 | | Autor: | ttl |
| Aufgabe | Zu den verschiedenen Stützstellen [mm] x_{0},x_{1},...,x_{n} [/mm] seien [mm] L_{i}(x) [/mm] die Lagrange-Polynome und [mm] c_{i}:=L_{i}(0). [/mm] Zeigen Sie:
[mm] \sum_{i=0}^{n}c_{i}x_{i}^{s}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } s= 0 \\ 0, & \mbox{für } s=1,...,n , &(-1)^{n}x_{0}x_{1}...x_{n}, & \mbox{für } s=n+1\end{cases} [/mm] |
Hi,
ich habe den Fall für 1 verstanden. Aber die beiden anderen Fällen mit
0 und [mm] (-1)^{n}x_{0}x_{1}...x_{n}
[/mm]
kann ich einfach nicht nachvollziehen.
Könnte mir dies jemand erklären oder auch ein Tipp geben?
Gruß
ttl
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Di 27.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo ttl und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Zu den verschiedenen Stützstellen [mm]x_{0},x_{1},...,x_{n}[/mm]
> seien [mm]L_{i}(x)[/mm] die Lagrange-Polynome und [mm]c_{i}:=L_{i}(0).[/mm]
Außerdem sei [mm] i\in\{0,1,\ldots,n\}.
[/mm]
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\sum_{i=0}^{n}c_{i}x_{i}^{s}=\begin{cases} 1, & \mbox{für } s= 0 \\ 0, & \mbox{für } s=1,...,n , &(-1)^{n}x_{0}x_{1}...x_{n}, & \mbox{für } s=n+1\end{cases}[/mm]
> ich habe den Fall für 1 verstanden. Aber die beiden
> anderen Fällen mit
> 0 und [mm](-1)^{n}x_{0}x_{1}...x_{n}[/mm]
>
> kann ich einfach nicht nachvollziehen.
Die Fälle sind analog, sodass ich der Meinung bin, das du
du erste Teilaufgabe zwar verstanden, aber nicht richtig
gezeigt hast.
Es gilt:
[mm] L_i(x)=\produkt_{i\not=j=0}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}
[/mm]
[mm] \Rightarrow L_i(0)=\produkt_{i\not=j=0}^{n}\frac{x_j}{x_j-x_i}
[/mm]
und
[mm] L_i(x_k)=\delta_{ik}=\begin{cases} 1, & i=k \\ 0, & i\not=k \end{cases}.
[/mm]
Sei [mm] $s=0\$, [/mm] dann gilt:
[mm] \sum_{i=0}^{n}c_ix_i^s=\sum_{i=0}^{n}c_i\overset{\text{Voraussetzung}}{=}\sum_{i=0}^{n}L_i(0).
[/mm]
Jetzt wieder du.
Zum Verständnis für den zweiten Teil zeige die Aussage zu-
nächst für [mm] $s=1\$.
[/mm]
Sei [mm] $s=1\$, [/mm] dann gilt:
[mm] \sum_{i=0}^{n}c_ix_i^s=\sum_{i=0}^{n}c_ix_i\overset{\text{Voraussetzung}}{=}\sum_{i=0}^{n}L_i(0)x_i.
[/mm]
Jetzt wieder du.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Di 27.05.2014 | | Autor: | ttl |
Hi,
danke für den Willkommensgruß!! :D
Ich habe da einen Ansatz bzw. ich habe mal versucht das Problem allgemein zu formulieren.
Wir haben n+1 Punkte gegeben mit [mm] (x_{i},f(x_{i})), [/mm] wobei wir wissen f(x)= [mm] x^{k}.
[/mm]
Damit können p(x) = [mm] \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})L_{i}(x) [/mm] definieren.
[mm] \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})L_{i}(x) [/mm] = f(x), wobei [mm] deg(f)\leq [/mm] n. Wir können das Problem umschreiben in p(x) = [mm] \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})L_{i}(x) [/mm] -f (x).
Zusätzlich: [mm] L_{i}(x_{j}) [/mm] = [mm] \delta_{ij} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, &\mbox{i=j}\\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
[mm] f(x_{i})=x_{i}^{k} [/mm] und [mm] f(x)=x^k
[/mm]
Nun sei [mm] x=x_{m} [/mm] und [mm] 0\leq [/mm] m [mm] \leq [/mm] n und [mm] k\geq [/mm] 0.
Dann gilt:
[mm] p(x_{m}) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})L_{i}(x_{m}) -f(x_{m}) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})\delta_{im} [/mm] - [mm] x_{m}^{k} [/mm] = [mm] x_{m}^k \cdot [/mm] 1 - [mm] x_{m}^k [/mm] = 0.
Für den Fall k = 0 ist es offensichtlich 1, wegen [mm] x^0 [/mm] = 1 => [mm] x_{m}^{0} [/mm] - [mm] x_{m}^{0} [/mm] = 0.
Für den Fall [mm] 1\leq [/mm] k [mm] \leq [/mm] n und sei x = 0.
p(0) = [mm] \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})L_{i}(0) [/mm] -f(0)
wegen [mm] 0^{k} [/mm] = 0
p(0) = [mm] \sum_{i=0}^{n}f(x_{i})L_{i}(0)
[/mm]
Für i = m sei [mm] L_{i}(0) [/mm] = 1 und [mm] x_{m} [/mm] = 0. =>
p(0) = [mm] \sum_{i=0}^{n}f(x_{m})\cdot \delta_{im} [/mm] = f(0) = [mm] 0^{k} [/mm] = 0.
Damit folgt die Behauptung für [mm] 1\leq [/mm] k [mm] \leq [/mm] n.
Was hältst du davon so weit?
Leider habe ich es nicht geschafft, das ganze für k = n+1 zu zeigen.
Könntest du mir für den Fall k=n+1 noch etwas behilfich sein?
Gruß
ttl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Di 27.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich habe da einen Ansatz bzw. ich habe mal versucht das
> Problem allgemein zu formulieren.
>
> Wir haben n+1 Punkte gegeben mit [mm](x_{i},f(x_{i})),[/mm]
Nein, wir haben [mm] $n+1\$ [/mm] Stützpunkte gegeben. Wo sind denn die
[mm] $f(x_{i})$, [/mm] wobei [mm] i\in\{0,1,\ldots,n\}, [/mm] angegeben?
> wobei
> wir wissen f(x)= [mm]x^{k}.[/mm]
Nein. Das ist nicht das allgemeine Interpolationspolynom.
Hast du die komplette Aufgabenstellung aufgeschrieben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Mi 28.05.2014 | | Autor: | ttl |
Hi,
das steht doch in der Aufgabenstellung(Das ist die komplette Aufgabenstellung).
Lagrange-Polynome haben die Form p = [mm] \sum_{i=0}^{n}y_{i}L_{i}, [/mm] wenn man [mm] y_{i} [/mm] bel. wählt.
Es gilt [mm] p(x_{i}) [/mm] = [mm] y_{i}
[/mm]
und in der Aufgabe haben wir [mm] y_{i} [/mm] = [mm] x_{i}^{k}.
[/mm]
Deshalb habe ich das geschrieben.
Gruß
ttl
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> > Ich habe da einen Ansatz bzw. ich habe mal versucht das
> > Problem allgemein zu formulieren.
> >
> > Wir haben n+1 Punkte gegeben mit [mm](x_{i},f(x_{i})),[/mm]
>
> Nein, wir haben [mm]n+1\[/mm] Stützpunkte gegeben. Wo sind denn
> die
> [mm]f(x_{i})[/mm], wobei [mm]i\in\{0,1,\ldots,n\},[/mm] angegeben?
>
> > wobei
> > wir wissen f(x)= [mm]x^{k}.[/mm]
>
> Nein. Das ist nicht das allgemeine Interpolationspolynom.
> Hast du die komplette Aufgabenstellung aufgeschrieben?
Hallo,
ich finde die Idee gar nicht so dumm, immerhin interessiert man sich für [mm] \summe_{i=0}^nL_i(0)x_i^s.
[/mm]
Wenn man jetzt die n+1 Punkte [mm] (x_0,x_0^s), (x_1, x_1^s),..., (x_n,x_n^s) [/mm] gegeben hat, dann hat man mit
[mm] p(x):=\summe_{i=0}^nx_i^sL_i(x) [/mm] ein Polynom vom Höchstgrad n gefunden, welches die Funktion f mit [mm] f(x):=x^s [/mm] an den n+1 Stützstellen interpoliert.
Und jetzt will man halt wissen, was [mm] p(0)=\summe_{i=0}^nL_i(0)x_i^s [/mm] (in Abhängigkeit von s) ist, man will also das Absolutglied des Polynoms kennenlernen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mi 28.05.2014 | | Autor: | ttl |
Hi Angela,
könntest du mir vielleicht bei der Ausformulierung des Beweises helfen?
Ist es für die Fälle s = 0 und [mm] 1\leq s\leq [/mm] n richtig? Falls nicht, wo liegt der Haken?
Beim 3. Fall mit s = n+1 tue ich mich noch etwas schwer.
Könntest du mir dabei auch etwas unter die Arme greifen?
LG
ttl
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Hallo,
.
Ein Post ist mir leider gerade abhandengekommen, also nochmal neu.
Es ist mir zumindest heute abend zu mühsam, Deinen Ansatz durchzuarbeiten,
Aber mit Deiner Idee hast Du mich auf eine Idee gebracht, welche ich Dir schildern will.
Manches meintest Du vielleicht so ähnlich.
Gegeben haben wir n+1 paarweise verschiedene Stützstellen [mm] x_0,...,x_n.
[/mm]
Betrachten wir das Polynom [mm] p(x):=\summe_{i=0}^n x_i^sL(x).
[/mm]
Es ist ein Polynom, dessen grad höchstens n ist, und für welches gilt
[mm] p(x_k)=x_k^s [/mm] , [mm] \quad [/mm] k=0,1,2,...,n.
Das Polynom [mm] q(x):=p(x)-x^s [/mm] hat die n+1 Nullstellen [mm] x_0,...,x_n.
[/mm]
1.Fall: s=0.
[mm] q(x):=p(x)-x^0=p(x)-1 [/mm] ist ein Polynom höchstens vom Grad n und hat die n+1 Nullstellen [mm] x_0,...,x_n.
[/mm]
Also ist es das Nullpolynom, dh [mm] p(x)=x^0=1 [/mm] für alle x.
Also ist p(0)=1.
2. Fall: s=1,2,...,n
[mm] q(x):=p(x)-x^s [/mm] ist ein Polynom höchstens vom Grad n und hat die n+1 Nullstellen [mm] x_0,...,x_n.
[/mm]
Also ist es das Nullpolynom, dh p(x)=x^sfür alle x.
Also ist p(0)=0.
3. Fall: s=n+1
[mm] q(x):=p(x)-x^{n+1} [/mm] ist ein Polynom vom Grad n+1 mit Leitkoeffizient -1 und hat die n+1 Nullstellen [mm] x_0,...,x_n.
[/mm]
Also kann man [mm] p(x)-x^{n+1} [/mm] schreiben als
[mm] p(x)-x^{n+1}=-(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n),
[/mm]
und damit ist [mm] p(0)=(-1)^nx_0*...*x_n.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Fr 30.05.2014 | | Autor: | ttl |
Hi Angela,
im Grunde habe ich das gemeint. Das hilft mir sehr dabei.
Vielen Dank!
LG
ttl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 22.08.2014 | | Autor: | ttl |
Hi Angela,
ich habe mir die Aufgabe noch einmal angesehen und dabei ist mir etwas nicht klar.
Warum ist der Leitkoeffizient -1?
Gruß ttl
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Hallo,
> Hi Angela,
>
> ich habe mir die Aufgabe noch einmal angesehen und dabei
> ist mir etwas nicht klar.
> Warum ist der Leitkoeffizient -1?
Na, da steht doch in Angelas ausführlichem post: [mm]q(x)=p(x)-x^{n+1}[/mm]
Anders: [mm]q(x)=-x^{n+1}+p(x)[/mm]
Und [mm]p(x)[/mm] ist doch ein Polynom vom Grad [mm]\le n[/mm]
Da steht also [mm]q(x)=\red{(-1)}\cdot{}x^{n+1}+a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...[/mm]
>
> Gruß ttl
LG
schachuzipus
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