Lagrange < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi leute, ich bin es wiedermal. Diesmal muss ich die Extremwerte mit der Methode von Lagrange lösen.
Die Fkt heißt f(x,y)= [mm] x^{2}-2y^{2}-4y-2 [/mm] u.d.N [mm] x^{2}+4y^{2}=1
[/mm]
Ich schreib mal die ersten Lösungsschritte auf :
[mm] g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-1
[/mm]
grad g(x,y)=(2x,8y) grad f(x,y)=(2x,4y-4)
somit erhalte ich [mm] f(0,\bruch{1}{2}) [/mm] und [mm] f(0,\bruch{-1}{2})
[/mm]
Der Lösungsbogen zählt aber weiter Lösungen auf. Kann mir jemand erklären warum es vier Lösungen gibt obwohl die Potenz 2 ist und kann mir jamand erklären wie ich auf die weiteren beiden Ergebnisse komme?
[mm] f(\bruch{1}{3}\wurzel{5},\bruch{-1}{3})=\bruch{-1}{3}\Rightarrow [/mm] globales Maximum
[mm] f(\bruch{-1}{3}\wurzel{5},\bruch{-1}{3})=\bruch{-1}{3}\Rightarrow [/mm] globales Maximum
Falls es fragen zu der Herangehensweis der beiden ersten Koordinaten kommt, kann ich diese auch noch näher erklären.
Danke schon mal...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Mi 16.12.2009 | | Autor: | max3000 |
Kannst du bitte die komplette Ableitung der Lagrangefunktion mal aufschreiben?
Das ganze kann mehrere Extremstellen haben, weil das ja noch Nebenbedingungen hat.
Die Nebenbedingung ist, dass du das ganze auf einer Ellipse betrachtest. Da kann das schon auftreten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Mi 16.12.2009 | | Autor: | Mikka7019 |
Die Fkt heißt f(x,y)= [mm]x^{2}-2y^{2}-4y-2[/mm]
u.d.N [mm]x^{2}+4y^{2}=1[/mm]
g(x,y)=0
grad [mm] f(x,y)+\lambda [/mm] grad g(x,y)
[mm]g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-1[/mm]
grad g(x,y)=(2x,8y) grad f(x,y)=(2x,4y-4)
einsetzen ergibt: [mm] 2x+\lambda2x=0 [/mm] x=0
und [mm] -4y-4+8y\lambda=0 [/mm]
[mm] y=\bruch{1}{-1+2\lambda}
[/mm]
y in [mm] g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-1 [/mm] einsetzen und nach [mm] \lambda [/mm] auflösen
[mm] \lambda= \bruch{3}{2} [/mm] v [mm] \bruch{-1}{2}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] in [mm] \bruch{1}{-1+2\lambda} [/mm] einsetzen und man erhält
[mm] f(0,\bruch{1}{2}) [/mm] und [mm] f(0,\bruch{-1}{2}) [/mm]
Was ist eine "mathematische" Ellipse und welche Bedeutung hat sie? Ich meine, ich weiß wie so ein Ding aussieht, aber mathematisch gesehen..?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:44 Do 17.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast u.a. :
$ [mm] 2x+\lambda2x=0 [/mm] $
also
[mm] $2x(1+\lambda) [/mm] = 0$
Fall 1: x = 0. Das liefert $y = [mm] \pm [/mm] 1/2$
Fall 2: x [mm] \not=0. [/mm] Das liefert [mm] $\lambda [/mm] = -1$. Aus Deinen weiteren Gleichungen folgt $y = -1/3$ und [mm] $x^2=5/9$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Hi, könntes du dies vielleicht ein bisschen ausführlicher Aufschreiben? Ich steig da irgendwie nicht so recht durch.
Mikka
|
|
|
| |
|
> Hi, könntes du dies vielleicht ein bisschen ausführlicher
> Aufschreiben? Ich steig da irgendwie nicht so recht durch.
> Mikka
Hallo,
das "Durchsteigen" würde deutlich erleichtert sein, hättest Du irgendwo mal das zu lösende Gleichungssystem übersichtlich stehen.
Wie dem auch sein:
die erste Gleichung lautet
[mm] 2x+\lambda*2x=0 [/mm] <==> [mm] 2x(1+\lambda)=0
[/mm]
Was ist ein Produkt =0? Wenn einer der Faktoren =0 ist.
Dies ist der Fall für x=0 oder [mm] \lambda=-1.
[/mm]
Diese beiden Fälle sind nun weiter zu untersuchen durch Einsetzen in die verbleibenden beiden Gleichungen.
Vielleicht hatte Dich bloß ein Tippfehler in freds Post verwirrt: im Fall 2 muß es heißen [mm] [b]x[/b]\not=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
