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| Aufgabe | | Wieviele Extremwerte besitzt die Funktion f(x,y) =2x+3y unter der Bedingung dass ihr Definitionsbereich D={(x,y): [mm] \wurzel{x} [/mm] + [mm] \wurzel{y} [/mm] =5} |
L= 2x+3y- [mm] \lambda (\wurzel{x} [/mm] + [mm] \wurzel{y}-5)
[/mm]
NB: [mm] \wurzel{x} [/mm] + [mm] \wurzel{y} [/mm] -5 =0
[mm] \bruch{\partial L}{\partial x} [/mm] = 2- [mm] \lambda \bruch{1}{2* \wurzel {x}} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] 4 [mm] \wurzel{x}= \lambda
[/mm]
Eingesetzt in die Ableitung von L nach y ( 3- [mm] \lambda \bruch{1}{2* \wurzel {y}}) [/mm] ergibt: x= 9/4y & y= 4/9x
Kann mir vllt jemand sagen wo ich mich verrechnet habe? Denn wenn ich diese Werte in die Nebenbedingung einsetzte kann ich das Ergebnis nicht deuten.
Oder lässt sich vllt schon vorher auf die Anzahl der Extrema schließen?
Vielen Dank
stasihasi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also du hast ja jetzt noch nicht nach y bzw. x richtig aufgelöst, daher kannst du jetzt noch nichts sagen.
Ich habe es mal su gemacht: [mm] L_x=0 [/mm] und [mm] L_y=0 [/mm] nach [mm] \sqrt{x} [/mm] bzw. [mm] \sqrt{y} [/mm] aufgelöst und in [mm] \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 [/mm] eingesetzt. Bietete sich hier an. Dann kriegst du ein schönes [mm] \lambda [/mm] raus und damit kommst du an dein x und y.
Ob du damit ein Maximum oder Minimum rausbekommst, kannst du kurz prüfen, indem du mal f(0,25) oder andere Werte von f in dem Bereich berechnest und mit [mm] f(x_{krit},y_{krit.}) [/mm] vergleichst.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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$ [mm] L_x=0 [/mm] $ und $ [mm] L_y=0 [/mm] $ nach $ [mm] \sqrt{x} [/mm] $ bzw. $ [mm] \sqrt{y} [/mm] $ aufgelöst und in $ [mm] \sqrt{x}+\sqrt{y}=5 [/mm] $ eingesetzt.
Das muss man sich auch erstmal trauen 
Hast Du dann für [mm] \lambda=12 [/mm] bekommen?
Und kann ich an der Stelle schließen, dass maximal ein Extremum vorliegt?
Vielen Dank
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Hallo stasihasi,
der Wert [mm]\lambda=12[/mm] kommt mir schon mal gut vor...
Die drei Bedingungen, aus denen wir [mm]\lambda[/mm], [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] bestimmen wollen sind [mm]L_x=0[/mm], [mm]L_y=0[/mm] und die Gleichung der Nebenbedingung.
Aus [mm]L_x=0[/mm] erhält man durch Umstellen [mm]\sqrt{x}=\frac{\lambda}{4}[/mm],
aus [mm]L_y=0[/mm] erhält man durch Umstellen [mm]\sqrt{y}=\frac{\lambda}{6}[/mm].
In die Nebenbedingung eingesetzt macht das dann [mm]\frac{5\lambda}{12}=5[/mm], also ist dann der Wert 12 richtig.
Eigentlich muss man alle zulässigen Lösungen in den drei Unbekannten [mm]\lambda[/mm], [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] bestimmen, aber für [mm]\lambda[/mm] wissen wir ja nun schon, dass nur [mm]\lambda=12[/mm] in Frage kommt. Jetzt geht es also noch darum, alle zulässigen Werte für [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] zu bestimmen. Diese Lösungen sind dann kritische Punkte, die wir auf die Eigenschaft "Extremstelle der Funktion" überprüfen müssen. (Dies funktioniert in der Regel - weil am einfachsten - durch Berechnen des Funktionswerts an den kritischen Punkten und anschliessendem Vergleich dieser Funktionswerte).
Liebe Grüsse
Hugo
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PS:
Die Nebenbedingung in deiner Aufgabe enthält noch eine Falle, denn sowohl [mm]x[/mm] als auch [mm]y[/mm] dürfen ja nicht negativ werden. Die Stellen, an denen [mm]x=0[/mm] oder [mm]y=0[/mm] gelten und auch die Nebenbedingung erfüllt ist, könnten daher eventuell Randextrema sein.
Tipp: Es gibt in dieser Aufgabe einen einzigen kritischen Punkt, an dem die Nebenbedinung erfüllt ist, und zwei Randextrema, an denen die Nebenbedingung erfüllt ist. Du musst also drei Funktionswerte vergleichen um das Maximum und das Minimum der Funktion unter Berücksichtigung der Nebenbedingung zu finden.
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