Lagrange Bewegungsgleichung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Di 01.07.2008 | | Autor: | Daene111 |
Hi,
hätte eine Frage. Meine Kenntnisse in Dynamik sind doch etwas eingerostet.
folgender Aufbau:
[mm] Dämpfer(d_{1}) [/mm] - [mm] Feder(f_{1})
[/mm]
[mm] Dämpfer(d_{0}) [/mm] Kugel
[mm] Feder(f_{0})
[/mm]
so nun soll ich die Bewegungsgleichung dafür herleiten. Ich erinnere mich da noch an das schöne Verfahren von Lagrange und würde es an dieser Stelle gerne nochmals auffrischen.
1) Reicht mir hier eine generalisierte Koordinate in x-Richtung?
2) Wie und wo geht der Dämpfer noch mal in L =T-V ein?
grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Daene111 |
Der Aufbau sieht folgendermaßen aus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße und vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Daene111 |
die frage in der aufgabenstellung lautet:
a) Gesucht ist die DGL für die Kraft´sigma
b) Gesucht wird dieDGL für eine Kraft F(t)
vielleicht hilft das noch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Daene111 |
Hi Rainer, ich hab gerade mal versucht es auf die gute alte newtonsche Mechanik zu reduzieren.
So bin ich vorgegangen ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang:
Parallelschaltung: Addition von Kräften
Serienschaltung: Addition der Auslenkungen
war als Tip gegeben.
Ich denke die Berechnung müsste soweit stimmen?!
Wäre nett wenn Sie mal darauf schauen könntest. Vielen Dank für deine ganze Arbeit mit meinen Problemchen 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Daene111 |
siehe Mitteilungen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Fr 04.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich verstehe die Fragen, die du genannt hast, nicht. Das System in der Zeichnung hat drei Freiheitsgrade, also muss es drei unabhängige Variablen geben. Was ist mit [mm] $\sigma$ [/mm] gemeint, was mit $F(t)$? Ich weiss auch nicht, welche Variablen in deiner Rechnung welchen physikalischen Größen entsprechen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Sa 05.07.2008 | | Autor: | Daene111 |
Hallo Rainer,
okay dass war vielleicht etwas zu viel. Ich denke das einfachste ist, wenn ich Dir das Aufgabenblatt anhänge.
Datei-Anhang
Vielen Dank!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 06.07.2008 | | Autor: | Daene111 |
Ist denn der Ansatz den ich für die Gesamtauslenkung getroffen habe richtig oder habe ich einen großen Bock gebaut?
Ich habe mir gedacht, dass die Reihenschaltung aus Dämpfer [mm] \gamma_{0}, [/mm] der Parallelschaltung um [mm] k_{0}, k_{1} [/mm] und [mm] \gamma_{0} [/mm] und der Kugel am einfachsten durch die Gesamtauslenkung beschrieben werden kann, da in einer Serienschaltung die Auslenkungen addiert werden.
mathematisch heißt dass:
x(t) = [mm] \integral \bruch{\sigma}{\gamma_{0}}dt [/mm] + [mm] \integral \bruch{\sigma-k_{0}*x(t)}{\gamma_{1}}dt [/mm] + [mm] \bruch{\sigma-k_{0}*x(t)}{k_{1}}dt [/mm] + [mm] \interal \bruch{\sigma}{m} dt^{2}
[/mm]
[mm] \sigma [/mm] ist dabei die Kraft die auf die Kugel wirkt. In der Reihenschaltung müssten alle Komponenten die gleich Kraft erfahren in der Parallelschaltung subtrahiere ich die Kraft der Feder [mm] k_{0}.
[/mm]
Danke!
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Di 08.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich habe die Aufgabenstellung immer noch nicht verstanden, denn du hast in deiner letzten Mitteilung wieder nur die Zeichnung angehängt.
> Ist denn der Ansatz den ich für die Gesamtauslenkung
> getroffen habe richtig oder habe ich einen großen Bock
> gebaut?
>
> Ich habe mir gedacht, dass die Reihenschaltung aus Dämpfer
> [mm]\gamma_{0},[/mm] der Parallelschaltung um [mm]k_{0}, k_{1}[/mm] und
> [mm]\gamma_{0}[/mm] und der Kugel am einfachsten durch die
> Gesamtauslenkung beschrieben werden kann, da in einer
> Serienschaltung die Auslenkungen addiert werden.
Das ist im Prinzip schon richtig, aber du vernachlässigst doch die Tatsache, dass die einzelnen Teile gegeneinander beweglich sind. Das heisst, dass die Auslenkung von [mm] $k_0$ [/mm] und [mm] $k_1$ [/mm] unterschiedlich ist, dass sogar bei fester Auslenkung von [mm] $k_0$ [/mm] sich Feder [mm] $k_1$ [/mm] und Dämpfer [mm] $\gamma_1$ [/mm] noch bewegen können.
Deswegen hast du drei Freiheitsgrade und drei Größen, die das System beschreiben: zum Beispiel die Auslenkung der Dämpfers [mm] $\gamma_0$, [/mm] die Auslenkung des Dämpfers [mm] $\gamma_1$ [/mm] und die Auslenkung der Masse.
Etwas anderes wäre es, wenn du nach dem Gleichgewichtszustand fragst; aber da in der Aufgabe von einer DGL die Rede war, scheint mir das nicht der Fall zur sein.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Di 08.07.2008 | | Autor: | Daene111 |
hier nochmal das Übungsblatt
Datei-Anhang
Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:15 Mi 09.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich deiner Gleichung für x(t) hast du zwar die Auslenkungen addiert, aber die Kräfte nicht richtig angesetzt. Du hast angenommen, dass auf das Glied D die gleiche Kraft [mm] $\sigma$ [/mm] wirkt. Das kann aber nicht sein, denn dann würde keine Kraft auf Z wirken und es wäre wie eine starre Verbindung. Du musst berücksichtigen, dass die Kraft auf D nur von der Auslenkung von D abhängt. Du hast also zunächst drei Freiheitsgrade: die Auslenkungen von D, die des Dämpfers [mm] $\gamma_2$ [/mm] und die der Masse. Durch Elimination der ersten beiden solltest du auf die DGL kommen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Daene111 |
Würde ich nun folgende Koordinaten wählen:
die Koordinate [mm] x_{0} [/mm] über dem Dämpfer D, in der Parallelschaltung die Koordinate [mm] x_{1} [/mm] über dem Dämpfer mit der Konstante [mm] \gamma_{1} [/mm] sowie [mm] x_{3} [/mm] für die Kugel.
Wie kann ich nun eine dieser Konstanten eleminieren?
Ich habe mir auch schon gedanken über einen Lagrange Ansatz gemacht und komme mit obigen Koordinaten auf
L = [mm] \bruch{1}{2}*m*(x_{3}')^2-(\bruch{1}{2}*k_{1}(x_{3}-x_{2})^{2}+\bruch{1}{2}*k_{0}(x_{3}-x_{1})^{2})
[/mm]
aber von der vorgebenen Lösung sehe ich auch nach der endgültigen Berechnung von
[mm] \bruch{d}{dt}*\bruch{dL}{dx_{i}}-\bruch{dL}{dx_{i}}-R_{i}=0
[/mm]
mit [mm] R_{i} [/mm] = [mm] (\gamma_{1}*(x_{2}-x_{1})'+\gamma_{0}*x_{1}')
[/mm]
noch nichts...
vielleicht kannst du mir nochmals helfen. Wie könnte ich den in meinen Ansatz den Fehler beheben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 13.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Würde ich nun folgende Koordinaten wählen:
>
> die Koordinate [mm]x_{0}[/mm] über dem Dämpfer D, in der
> Parallelschaltung die Koordinate [mm]x_{1}[/mm] über dem Dämpfer mit
> der Konstante [mm]\gamma_{1}[/mm] sowie [mm]x_{3}[/mm] für die Kugel.
>
> Wie kann ich nun eine dieser Konstanten eleminieren?
Du stellst die drei Differentialgleichungen für die drei Koordinaten auf.
Zum Beispiel für die Koordinate [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] über die Dämpfer:
(i) [mm] k_0 (x_3-x_1) = \gamma_0 \dot x_1 - \gamma_1 (\dot x_2 -\dot x_1 )[/mm]
(ii) [mm] k_1 (x_3-x_2) = \gamma_1 (\dot x_2 -\dot x_1 ) [/mm]
Die dritte ist dann einfach
(iii) [mm] \sigma(t) + k_1 (x_3-x_2) + k_0 (x_3-x_1) [/mm].
Jetzt hast du drei lineare DGLen, die du durch eine lineare DGL höherer Ordnung ersetzen kannst.
Mit den ersten beiden kannst du [mm] $\dot x_1$ [/mm] und [mm] $\dot x_2$ [/mm] durch die Koordinaten ausdrücken. Berechne [mm] $\dot \sigma$ [/mm] und [mm] $\ddot \sigma$ [/mm] und ersetze jedesmal [mm] $\dot x_1$ [/mm] und [mm] $\dot x_2$. [/mm] Aus dem entstehenden linearen Gleichungssystem eliminierst du [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$.
[/mm]
> Ich habe mir auch schon gedanken über einen Lagrange Ansatz
> gemacht und komme mit obigen Koordinaten auf
>
> [mm]L =\bruch{1}{2}*m*(x_{3}')^2-(\bruch{1}{2}*k_{1}(x_{3}-x_{2})^{2}+\bruch{1}{2}*k_{0}(x_{3}-x_{1})^{2})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber von der vorgebenen Lösung sehe ich auch nach der
> endgültigen Berechnung von
> [mm]\bruch{d}{dt}*\bruch{dL}{dx_{i}}-\bruch{dL}{dx_{i}}-R_{i}=0[/mm]
>
> mit [mm]R_{i}[/mm] = [mm](\gamma_{1}*(x_{2}-x_{1})'+\gamma_{0}*x_{1}')[/mm]
Das kann doch so nicht stimmen. Du hast drei Koordinaten, also drei verallgemeinerte Kräfte [mm] $R_i$, [/mm] die können doch nicht alle gleich sein! Wenn du einen Dämpfer hättest, wäre die Dissipationsfunktion
[mm] P = \bruch{1}{2} \gamma \dot x^2 [/mm].
Analog ist hier:
[mm] P = \bruch{1}{2} \gamma_0 \dot x_1^2 + \bruch{1}{2}\gamma_1 (\dot x_2 -\dot x_1)^2[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier