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hi,
an der aufgabe beiße ich mir absolut die zähne aus,
Gegeben seien n+1 paar weise verschiedene punkte [mm] x_{i} \in \IR^{1}, [/mm] i=0,...n und die zugehörigen n+1sog. lagrange polynome
[mm] L_{i}^{(n)} [/mm] (x) = [mm] \produkt_{j=0, j=1}^{n} \bruch{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}, [/mm] i=0,...,n
zz dass die polynome L eine basis des polynomraums [mm] P_{n} [/mm] bilden und dass folgende beziehungen gelten:
i) [mm] \summe_{i=0}^{n} L_{i}^{(n)} [/mm] (x) =1 [mm] x\in \IR
[/mm]
ii) [mm] \summe_{i=0}^{n} x_{i}^{k} L_{i}^{(n)} [/mm] (0) =0 k=1,...n
[mm] iii)\summe_{i=0}^{n} x_{i}^{n+1} L_{i}^{(n)} [/mm] (0) [mm] =-1^{n} \produkt_{i=0}^{n} x_{i} [/mm]
man kann habe ich rausgefunden die eindeutigkeit des lagrangeschen Interpolationspolynoms verwenden, sowie die darstllung des fehlers, bei der lagrange-interpolation.
das war ein tipp, von einem kommilitonen, allerdings hilft mir das nicht sehr viel weiter.
danke im voraus für eure hilfe
greetz
dschingis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Sa 30.04.2005 | | Autor: | felixs |
morgen.
die faelligkeit ist zwar ein wenig abgelaufen aber trotzdem mal eine kleine antwort:
> Gegeben seien n+1 paar weise verschiedene punkte [mm]x_{i} \in \IR^{1},[/mm]
> i=0,...n und die zugehörigen n+1sog. lagrange polynome
> zz dass die polynome L eine basis des polynomraums [mm]P_{n}[/mm]
> bilden.
dashier ist klar wenn du gezeigt hast dass [mm] $L_i(x_j)=\delta_{ij}$ [/mm] (was nicht weiter schwer ist).
> und dass folgende beziehungen gelten:
> i) [mm]\summe_{i=0}^{n} L_{i}^{(n)}[/mm] (x) =1 [mm]x\in \IR[/mm]
dashier ist das IPP zur konstanten 1 funktion in [mm] $\mathbb{P}_n$. [/mm] die ist eindeutig also ueberall 1. gaebe es ein 2. polynom in [mm] $\mathbb{P}_n$ [/mm] das irgendwie etwas anderes tut, so waere das ein widerspruch zu dieser eindeutigkeit.
> ii) [mm]\summe_{i=0}^{n} x_{i}^{k} L_{i}^{(n)}[/mm] (0) =0 k=1,...n
dashier ist genau dasselbe fuer das polynom [mm] $x^k \in \mathbb{P}_n$.
[/mm]
> [mm]iii)\summe_{i=0}^{n} x_{i}^{n+1} L_{i}^{(n)}[/mm] (0) [mm]=-1^{n} \produkt_{i=0}^{n} x_{i}[/mm]
und dasda ist die differenz zwischen 2 solcher dinger aus aufgabe ii)
muss man halt noch hinschreiben.
gruss
--felix
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