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| Aufgabe | Die Menge A beschreibe die abgeschlossene Kreismenge vom Radius 3 mit dem Mittelpunkt (-1,2)
i. Bestimmen Sie den Radius des flächenmäßig größten Kreises mit Mittelpunkt (0,0), der vollständig in A liegt, mit dem Lagrange-Verfahren. Bei richtiger Berechnung erhalten Sie zwei mögliche Radien. Geben Sie an, welcher Kreis durch den zweiten (den nicht im ersten Teil gesuchten) Radius beschrieben wird. |
Guten Abend,
ich bin mir nicht sicher, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Die Menge A ist [mm] \{(x,y)\in\IR^{2}|(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\le 9 }
[/mm]
Ich vermute mal, dass dementsprechend die Funktion
g(x,y)= [mm] x^{2}+2x+y^{2}-4y-4 [/mm] = 0 meine Nebenbedingung ist, unter der ich den Radius maximieren muss.
Für den Radius der gesuchten Funktion gilt f(x,y)= [mm] r^{2}=x^{2}+y^{2}.
[/mm]
Doch wie geht es nun weiter? Die Gradienten von f und g lassen sich nicht gleichsetzen aufgrund der verschiedenen Anzahl Variablen, Singuläre Punkte gibt es, soweit ich richtig gerechnet habe, auch nicht.
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Hallo elduderino,
> Die Menge A beschreibe die abgeschlossene Kreismenge vom
> Radius 3 mit dem Mittelpunkt (-1,2)
>
> i. Bestimmen Sie den Radius des flächenmäßig größten
> Kreises mit Mittelpunkt (0,0), der vollständig in A liegt,
> mit dem Lagrange-Verfahren. Bei richtiger Berechnung
> erhalten Sie zwei mögliche Radien. Geben Sie an, welcher
> Kreis durch den zweiten (den nicht im ersten Teil
> gesuchten) Radius beschrieben wird.
>
> Guten Abend,
>
> ich bin mir nicht sicher, wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll.
> Die Menge A ist [mm]\{(x,y)\in\IR^{2}|(x+1)^{2}+(y-2)^{2}\le 9 }[/mm]
>
> Ich vermute mal, dass dementsprechend die Funktion
> g(x,y)= [mm]x^{2}+2x+y^{2}-4y-4[/mm] = 0 meine Nebenbedingung ist,
> unter der ich den Radius maximieren muss.
> Für den Radius der gesuchten Funktion gilt f(x,y)=
> [mm]r^{2}=x^{2}+y^{2}.[/mm]
>
> Doch wie geht es nun weiter? Die Gradienten von f und g
> lassen sich nicht gleichsetzen aufgrund der verschiedenen
> Anzahl Variablen, Singuläre Punkte gibt es, soweit ich
> richtig gerechnet habe, auch nicht.
Bilde zunächst
[mm]L\left(x,y,\lambda\right):=f\left(x,y\right)+\lambda*g\left(x,y\right)[/mm]
Differenziere dies nach allen 3 Variablen [mm]x, \ y, \ \lambda[/mm]
und setze die erhaltenen partiellen Ableitungen gleich 0.
Löse dann das entstehende Gleichungssystem.
Gruss
MathePower
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Wenn ich das tue, entsteht [mm] L(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] x^{2}+y^{2}-r^{2}+\lambda(x^{2}+2x+y^{2}-4y-4).
[/mm]
Doch beim partiellen Ableiten habe ich doch jetzt x,y,r und [mm] \lambda, [/mm] oder mache ich bei r was falsch?
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Hallo elduderino,
> Wenn ich das tue, entsteht [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] =
> [mm]x^{2}+y^{2}-r^{2}+\lambda(x^{2}+2x+y^{2}-4y-4).[/mm]
>
> Doch beim partiellen Ableiten habe ich doch jetzt x,y,r und
> [mm]\lambda,[/mm] oder mache ich bei r was falsch?
Vergiss das "r"-
Die Funktion, die Du ableiten sollst , lautet:
[mm]L(x,y,\lambda)=x^{2}+y^{2}+\lambda(x^{2}+2x+y^{2}-4y-4).[/mm]
Gruss
MathePower
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Das ergibt bei mir das LGS
[mm] 2x+2\lambda+2\lambdax=0
[/mm]
[mm] 2y-4\lambda+2\lambday=0
[/mm]
[mm] x^{2}+y^{2}+2y-4y-4=0
[/mm]
Wenn ich mit dem ersten Fall beginne, komme ich zu dem Ergebnis, dass entweder x=0 und [mm] \lambda=0 [/mm] oder x=-2 und [mm] \lambda=-2.
[/mm]
Reicht es dann, wenn ich diese x und [mm] \lambda [/mm] Werte in die verbliebenen Gleichungen jeweils einsetze? Oder muss ich jede einzelne Gleichung nach [mm] x/y/\lambda [/mm] auflösen und dann in die anderen einsetzen? Bis jetzt habe ich 6 Punkte, durch Einsetzen von [mm] x=\lambda=0 [/mm] und [mm] x=\lambda=-2 [/mm] in die zweite und dritte Gleichung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das ergibt bei mir das LGS
>
> [mm]2x+2\lambda+2\lambdax=0[/mm]
Da steht [mm]2x+2\lambda+2\lambda x=0[/mm]
> [mm]2y-4\lambda+2\lambday=0[/mm]
Hier steht [mm]2y-4\lambda+2\lambda y=0[/mm]
> [mm]x^{2}+y^{2}+2y-4y-4=0[/mm]
>
> Wenn ich mit dem ersten Fall beginne, komme ich zu dem
> Ergebnis, dass entweder x=0 und [mm]\lambda=0[/mm] oder x=-2 und
> [mm]\lambda=-2.[/mm]
Das sind aber nicht alle Lösungen der Gl.
$ [mm] 2x+2\lambda+2\lambda [/mm] x=0 $ !!!
Löse diese nach x auf.
FRED
>
> Reicht es dann, wenn ich diese x und [mm]\lambda[/mm] Werte in die
> verbliebenen Gleichungen jeweils einsetze? Oder muss ich
> jede einzelne Gleichung nach [mm]x/y/\lambda[/mm] auflösen und dann
> in die anderen einsetzen? Bis jetzt habe ich 6 Punkte,
> durch Einsetzen von [mm]x=\lambda=0[/mm] und [mm]x=\lambda=-2[/mm] in die
> zweite und dritte Gleichung.
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Ich habe das ganze nochmal von vorne durchgedacht. Ich habe außerdem jetzt die Formel aus meinem Skript angewandt.
Die Gleichungen lauten folgendermaßen:
[mm] 2x-2\lambdax-2\lambda=0
[/mm]
[mm] 2y-2\lambday-4\lambda=0
[/mm]
[mm] x^{2}+y^{2}+2x-4y-4=0
[/mm]
Aus Gleichung 1 folgt, dass entweder [mm] x=\bruch{\lambda}{1-\lambda} [/mm] oder [mm] \lambda=\bruch{x}{x-1}
[/mm]
Doch wie geht es jetzt weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
wenn du etwas in einem Beitrag ändern möchtest, dann editiere ihn bitte nach und erstelle nicht einen zweiten Beitrag. Du hast die obige Frage zweimal gestellt und in einem der beiden Beiträge dann einfach den Text gelöscht. Im Sinne einer besseren Strukturierung habe ich diesen leeren Beitrag verschwinden lassen.
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Ich habe das ganze nochmal von vorne durchgedacht. Ich habe
> außerdem jetzt die Formel aus meinem Skript angewandt.
> Die Gleichungen lauten folgendermaßen:
>
> [mm]2x-2\lambdax-2\lambda=0[/mm]
> [mm]2y-2\lambday-4\lambda=0[/mm]
> [mm]x^{2}+y^{2}+2x-4y-4=0[/mm]
Das sind zwar nun ganz andere Gleichungen als vorher, aber nun gut ...
>
> Aus Gleichung 1 folgt, dass entweder
> [mm]x=\bruch{\lambda}{1-\lambda}[/mm] oder [mm]\lambda=\bruch{x}{x-1}[/mm]
>
> Doch wie geht es jetzt weiter?
Na, du wirst doch wissen, wie man ein Gleichungssystem löst?!
Löse die Gleichungen 1) und 2) nach x bzw. y auf und setze beides in 3) ein, um auch [mm] $\lambda$ [/mm] abzugreifen ...
Gruß
schachuzipus
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