Lagrange Multiplikator < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:35 Sa 08.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> hier:
>
> ![[]](/images/popup.gif) http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Constraints_and_Lagrange%27s_Equations#The_Pendulum
>
> wird die Bewegungsgelichung des mathematischen Pendels mit
> Hilf von Lagrange-Multiplikatoren hergeleitet.
>
> Wie lässt sich das [mm]\lambda(r-l)[/mm] in der zweiten Gleichung
> erklären?
Die (holonome) Zwangsbedingung ist doch $Z=r-l=0$, da die Länge des Pendels eine Konstante ist. Die Zwangskraft steht senkrecht auf der durch die Zwangsbedingung definierten Hyperfläche, ist also gegeben durch
[mm] \lambda \nabla Z = \lambda \nabla(r-l) [/mm]
Anders ausgedrückt: du kannst [mm] $\lambda [/mm] Z$ zum Potential hinzuaddieren.
Viele Grüße
Rainer
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> Die (holonome) Zwangsbedingung ist doch [mm]Z=r-l=0[/mm], da die
> Länge des Pendels eine Konstante ist.
Ok.
> Die Zwangskraft steht
> senkrecht auf der durch die Zwangsbedingung definierten
> Hyperfläche
..steht senkrecht auf der Fläche kann ich verstehen. Hyperfläche verstehe ich nicht, da ich dies zum ersten mal höhre.
> , ist also gegeben durch
>
> [mm]\lambda \nabla Z = \lambda \nabla(r-l)[/mm]
diesen gedankengang kann ich nicht nachvollziehen
>
> Anders ausgedrückt: du kannst [mm]\lambda Z[/mm] zum Potential
> hinzuaddieren.
>
>
> Viele Grüße
> Rainer
In der gsamnten vorlesung kam der Lagrangemultiplikator nur in folgender Formel vor:
Langrangegl. 1. Art:
[mm] \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}} [/mm] - [mm] \frac{\partial L}{\partialq_j} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k}\lambda_i a_{ij}
[/mm]
wobei j=1,...3N
Gruß,
HP
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Sa 08.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> >
> > Die (holonome) Zwangsbedingung ist doch [mm]Z=r-l=0[/mm], da die
> > Länge des Pendels eine Konstante ist.
>
> Ok.
>
> > Die Zwangskraft steht
> > senkrecht auf der durch die Zwangsbedingung definierten
> > Hyperfläche
>
> ..steht senkrecht auf der Fläche kann ich verstehen.
> Hyperfläche verstehe ich nicht, da ich dies zum ersten mal
> höhre.
>
> > , ist also gegeben durch
> >
> > [mm]\lambda \nabla Z = \lambda \nabla(r-l)[/mm]
>
>
> diesen gedankengang kann ich nicht nachvollziehen
Wenn Z=0 eine Fläche definiert, dann ist [mm] $\nabla [/mm] Z$ senkrecht zur Fläche, denn der Gradient steht senkrecht auf jedem Tangentialvektor an die Fläche. Das folgt aus [mm] $Z(\gamma(t))=0 \implies \nabla Z(\gamma(t)) [/mm] * [mm] \dot\gamma(t) [/mm] = 0$ für jede Kurve [mm] $\gamma$ [/mm] auf der Fläche.
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> >
> > Anders ausgedrückt: du kannst [mm]\lambda Z[/mm] zum Potential
> > hinzuaddieren.
> >
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> In der gsamnten vorlesung kam der Lagrangemultiplikator nur
> in folgender Formel vor:
>
> Langrangegl. 1. Art:
> [mm]\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}} -\frac{\partial L}{\partial q_j} = \summe_{i=1}^{k}\lambda_i a_{ij}[/mm]
>
> wobei j=1,...3N
Das ist genau die Gleichung, nach der du gefragt hast. Entweder du verwendest den Formalismus der 1. Art, dann steht die Gleichung so da. Oder - wenn es sich wie im vorliegenden Fall - um eine reine ortsabhängigige Zwangsbedingung handelt, kann du die Zwangsbedingung mit Lagrangemultiplikator zur Lagrangefunktion addieren.
Formal entsteht die Lagrangegleichung 2. Art aus der Suche nach einem Extremum mit Nebenbedingungen. Dabei wird zum Funktional, dessen Extremum bestimmt werden soll, die Nebenbedingung mit Lagrangemultiplikator addiert.
Viele Grüße
Rainer
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