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| Aufgabe | [mm] x_{0} [/mm] = 0, [mm] x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}= [/mm] 4
[mm] y_{0} [/mm] = 1, [mm] y_{1}=1, y_{2}=2, y_{3}= [/mm] 5
Zu suchen ist ein Polynom dritten Grades, das die oben gegebenen Werte annimmt. |
Hallo,
bin dabei für mein Numerikprüfung zu lernen und möchte gern diese Aufgabe lösen.Die Lösung habe ich ja es stammt von ''Schaum''(numerische Analysis).Aber ich versteht einfach nicht der Spiel mit der [mm] X_{i}. [/mm] Da nach der definition von Lagrange Polynom
P(x):= [mm] \summe_{j=0}^{n}P(x_{i})L_{i}(x) [/mm] mit
[mm] L_{j}(x):=\produkt_{i=0,j\not=i}^{n}\bruch{(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}
[/mm]
Mein Ansatz: [mm] P_{3}(x):=\bruch{(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{3})}y_{1}+ \bruch{(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}y_{2}+\bruch{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}y_{3}
[/mm]
+ [mm] \bruch{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}y_{4} [/mm]
Nach Lösung ist: [mm] P_{3}(x)= \bruch{1}{12}(-x^3+9x^2-8x+12)
[/mm]
Ich habe zwar das hier , aber verstehe nicht wie ich mit dem [mm] X_{i} [/mm] bzw [mm] x_{j} [/mm] umgehen soll. Wie werden die Indizes i und j vertauscht ? könnt ihr mich bitte helfen?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:50 Do 31.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]x_{0}[/mm] = 0, [mm]x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=[/mm] 4
> [mm]y_{0}[/mm] = 1, [mm]y_{1}=1, y_{2}=2, y_{3}=[/mm] 5
> Zu suchen ist ein Polynom dritten Grades, das die oben
> gegebenen Werte annimmt.
> Hallo,
> bin dabei für mein Numerikprüfung zu lernen und möchte gern
> diese Aufgabe lösen.Die Lösung habe ich ja es stammt von
> ''Schaum''(numerische Analysis).Aber ich versteht einfach
> nicht der Spiel mit der [mm]X_{i}.[/mm] Da nach der definition von
> Lagrange Polynom
>
> P(x):= [mm]\summe_{j=0}^{n}P(x_{i})L_{i}(x)[/mm] mit
Der Index unter dem Summenzeichen sollte natürlich auch $i$ sein, nicht $j$. Und anstatt [mm] $P(x_i)$ [/mm] sollte man in sinnvoller Weise rechts erstmal [mm] $y_i$ [/mm] stehen haben, denn man sucht ja gerade ein $P$ mit [mm] $P(x_i)=y_i$ [/mm] für alle $i$. Aber das ist hier weniger bedeutend, sondern eher eine Formsache, weil man ja i.a. erstmal nicht wissen könnte, ob so ein Polynom $P$ überhaupt existiert. In diesem Sinne ist diese Formsache auch eher "philosophischer" Natur, denn dessen Existenz ist beweisbar (eben durch diese "Formel").
> [mm]L_{j}(x):=\produkt_{i=0,j\not=i}^{n}\bruch{(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}[/mm]
>
> Mein Ansatz:
> [mm]P_{3}(x):=\bruch{(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{3})}y_{1}+ \bruch{(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}y_{2}+\bruch{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}y_{3}[/mm]
>
> +
> [mm]\bruch{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}y_{4}[/mm]
Da sollten natürlich auch [mm] $y_0,...,y_3$ [/mm] und nicht [mm] $y_1,...,y_4$ [/mm] stehen.
>
> Nach Lösung ist: [mm]P_{3}(x)= \bruch{1}{12}(-x^3+9x^2-8x+12)[/mm]
>
> Ich habe zwar das hier , aber verstehe nicht wie ich mit
> dem [mm]X_{i}[/mm] bzw [mm]x_{j}[/mm] umgehen soll. Wie werden die Indizes i
> und j vertauscht ? könnt ihr mich bitte helfen?
> Danke
Ehrlich gesagt verstehe ich Dein Problem nicht. Du musst erstmal einsetzen:
[mm] $P_3(x)=\bruch{(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{3})}y_{0}+ \bruch{(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}y_{1}+\bruch{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}y_{2}+\bruch{(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}y_{3}$
[/mm]
[mm] $=\frac{(x-1)(x-2)(x-4)}{(-1)*(-2)*(-4)}+\frac{x*(x-2)(x-4)}{1*(-1)*(-3)}+\frac{x*(x-1)(x-4)}{2*1*(-2)}*2+\frac{x*(x-1)*(x-2)}{4*3*2}*5$
[/mm]
Der Rest ist nur noch "Rechnerei" (die ich mir erspare, denn das solltest Du auch selbst hinbekommen).
Zur Kontrolle:
Die blaue Kurve ist der Graph der Musterlösung, die rote der Graph meiner obigen (noch nicht vereinfachten) "Funktionsgleichung".
Wie Du siehst, überdecken die sich (in dem unteren Bild, wo EIGENTLICH beide Graphen gezeichnet worden sind, ist nur noch eine Farbe sichtbar); also sollte das Ergebnis nach dem "Ausrechnen" zur Musterlösung passen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:49 Fr 01.02.2008 | | Autor: | larafabian |
Danke Marcel,
habe mitbekommen wie es funktioniert,der trick mit dem Schema funktioniert super gut.
Gute Nacht
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