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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Für i=0,...,n seien [mm] L_i(x):=\produkt_{i\not= j}\bruch{x-\zeta_j}{\zeta_i-\zeta_j} [/mm] die Lagrange-Polynome zu den paarweise verschiedenen Stützstellen [mm] \zeta_0,...,\zeta_n. [/mm] Man zeige:
(a) [mm] \forall [/mm] x: [mm] \summe_{i=0}^{n} L_i(x) [/mm] = 1
(b) [mm] \forall k=1,...,n:\summe_{i=0}^{n} \zeta_i^k L_i(0)=0 [/mm] |
Zu (a) habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
Angenommen die Aussage gelte nicht:
Sei nun f(x)=1 eine konstante Funktion welche an n Stützstellen interpoliert werden soll.
Damit ergibt sich für die Lagrange-Polynome:
p(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n}1* L_i(x)
[/mm]
Jetzt gilt aber nach Annahme, dass p(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n} L_i(x) \not= [/mm] 1 und damit interpoliert p(x) f(x) nicht.
Daher muss gelten: [mm] \summe_{i=0}^{n} L_i(x) [/mm] = 1
Passt das so?
Bei (b) habe ich ja wenn ich das Ausschreibe:
[mm] \zeta_0^k*(\bruch{0-\zeta_1}{\zeta_0-\zeta_1}*...*\bruch{0-\zeta_n}{\zeta_0-\zeta_n}) [/mm] + [mm] \zeta_1^k*(\bruch{0-\zeta_0}{\zeta_1-\zeta_0}*\bruch{0-\zeta_2}{\zeta_1-\zeta_2}*...*\bruch{0-\zeta_n}{\zeta_1-\zeta_n}) [/mm] + ... + [mm] \zeta_0^k*(\bruch{0-\zeta_0}{\zeta_n-\zeta_0}*...*\bruch{0-\zeta_{n-1}}{\zeta_n-\zeta_{n-1}})
[/mm]
Aber was bringt mir das? Wie komme ich hier weiter? Ich finde leider keinen sinnigen Ansatz. Über einen Anstoß oder Hinweis wäre ich sehr dankbar.
Gruß Zerwas
Ich habe diese Frage auf keinem andern Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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> Für i=0,...,n seien [mm]L_i(x):=\produkt_{i\not= j}\bruch{x-\zeta_j}{\zeta_i-\zeta_j}[/mm]
> die Lagrange-Polynome zu den paarweise verschiedenen
> Stützstellen [mm]\zeta_0,...,\zeta_n.[/mm] Man zeige:
> (a) [mm]\forall[/mm] x: [mm]\summe_{i=0}^{n} L_i(x)[/mm] = 1
> (b) [mm]\forall k=1,...,n:\summe_{i=0}^{n} \zeta_i^k L_i(0)=0[/mm]
>
> Zu (a) habe ich mir folgende Gedanken gemacht:
> Angenommen die Aussage gelte nicht:
> Sei nun f(x)=1 eine konstante Funktion welche an n
> Stützstellen interpoliert werden soll.
> Damit ergibt sich für die Lagrange-Polynome:
> p(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n}1* L_i(x)[/mm]
Hallo,
das hier ist dann das Interpolationspolynom.
> Jetzt gilt aber nach Annahme, dass p(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} L_i(x) \not=[/mm]
> 1 und damit interpoliert p(x) f(x) nicht.
Diesem Schluß kann ich so nicht folgen.
Interpolationspolynom bedeutet doch nur, daß es an den n Stützstellen mit der Funktion f übereinstimmt.
(Ich bin mir außerdem nicht sicher, ob Du den Satz, daß man mit [mm] \summe_{i=0}^{n}y_i* L_i(x) [/mm] die Funktion f interpolieren kann, verwenden darfst und sollst.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Ich kann den Schluss ja auch nur für eine beliebige Stutzstelle nehmen. Der wär ja dann genauso wiedersprüchlich.
Wie soll ich die Aufgabe dann lösen?
Hättest du vllt. einen Ansatz?
Gruß Zerwas
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> Ich kann den Schluss ja auch nur für eine beliebige
> Stutzstelle nehmen. Der wär ja dann genauso
> wiedersprüchlich.
Wenn [mm] p(x)\not=1, [/mm] so heißt das doch nicht, daß das Polynom nicht an ausgewählten Stellen den Funktionswert 1 annehmen kann.
> Wie soll ich die Aufgabe dann lösen?
> Hättest du vllt. einen Ansatz?
Was hast Du denn schon versucht?
Ich hab's jetzt nicht gerechnet (bin mir allerdings sicher, es vor x jahren mal getan zu haben...), aber ich würde zunächst versuchen, das ganz direkt anzugehen.
Hast Du denn schonmal für n=2,3,4 getestet, ob die Aussage stimmt? Bei so etwas kommt man ja oft auf Ideen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Ich kann doch aber sagen, wenn [mm] p(x)\not= [/mm] 1 dann wird es das nie und damit im Besonderen auch nicht an den Stützstellen oder?
Das "ausrechnen" habe ich schon probiert. Das artet jedoch in unüberschaubare Polynome aus die sich dann eben alle wegkürzen.
Ich habe nochmal nachgefragt und ich darf auf jeden Fall benutzen, dass [mm] p(x)=\summe_{i=0}^{n} y_i L_i(x) [/mm] so exisitert.
Ich habe meinen Beweis mal noch etwas weiter gefasst und ein bisschen ausformuliert:
zz: [mm] \summe_{i=0}^{n} L_i(x) [/mm] =1 [mm] \forall [/mm] x in [mm] \IR
[/mm]
Seien [mm] x_i =(\alpha_i, \beta_i) [/mm] Stützpunkte, [mm] \alpha_i [/mm] die Stützstellen, [mm] \beta_i [/mm] die Stützwerte.
Beweis durch Widerspruch:
Sei [mm] \summe_{i=0}^{n} L_i(x) \not=1 [/mm] für ein x [mm] \in \IR
[/mm]
Wähle nun [mm] \beta_i [/mm] = c mit einem c [mm] \in\IR [/mm] (konstante zu interpolierende Funktion)
Stützpunkte haben also die Form: [mm] x_i= (\alpha_i, [/mm] c)
[mm] \Rightarrow [/mm] Lagrange-Polynom:
[mm] P(x)=\summe_{i=0}^{n}\beta_i L_i(x) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}c L_i(x) [/mm] = c * [mm] \summe_{i=0}^{n}L_i(x)
[/mm]
Sei nun, wie vorausgesetzt, [mm] \summe_{i=0}^{n}L_i(x) \not= [/mm] 1:
[mm] \Rightarrow [/mm] P(x) = c*t mit [mm] t\not= [/mm] 1, [mm] t\in\IR
[/mm]
Das Interpolationspolynom erfüllt also nicht [mm] P(\alpha_i)=c [/mm] mit i= 1,...,n
[mm] \Rightarrow \summe_{i=0}^{n}L_i(x) [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
So sollte es doch eingentlich passen oder?
Gruß Zerwas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
wenn du verwenden darfst, dass das Interpolationspolynom gegeben ist durch
[mm] p_n(x) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n y_k l_k(x),
[/mm]
dann folgt doch daraus, dass sich jedes Monom darstellen lässt als Linearkombination der [mm] l_k(x):
[/mm]
[mm] x^r [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n x_k^r l_k(x) [/mm] und insbesondere dann für r=0:
1= [mm] x^0 [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] 1 [mm] \cdot l_k(x),
[/mm]
d.h. die [mm] l_k's [/mm] bilden eine Zerlegung der Einheit.
Viele Grüße,
Riley
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> Ich kann doch aber sagen, wenn [mm]p(x)\not=[/mm] 1 dann wird es das
> nie und damit im Besonderen auch nicht an den Stützstellen
> oder?
Hallo,
möglicherweise ist unsere Meinungsverschiedenheit Folge einer Ungenauigkeit beim Aufschreiben.
Wenn dasteht: [mm] p(x)\not=1 [/mm] für alle x, dann nimmt p natürlich nirgendwo den Wert 1 an, also auch nicht an den Stützstellen.
Wenn aber dasteht [mm] p\not=1, [/mm] so bedeutet das ja, daß p nicht konstant =1 ist, was aber keinesfalls ausschließt, daß die Funktion an sehr vielen Stellen den Wert 1 annimmt.
Genau hier liegt das Problem Deines Beweises, und das meinte ich mit "kann dem so nicht folgen".
Die Beweisidee ist ja gar nicht übel, aber es fehlt die entscheidende Begündung dafür, daß dieses Interpolationspolynom, mit welchem Du die konstante Funktion interpolierst, nicht nur an den Stützstellen =1 ist, sondern konstant =1.
Und um dies zu begründen, muß man etwas zurückgehen zu einem wichtigen Satz, welchen Ihr kürzlich in der Vorlesung bewiesen haben werdet:
Für n+1 verschiedene Stützstellen gibt es genau ein Polynom vom Höchstgrad n, welches die Funktion interpoliert.
Die Folge: da Deine konstante Funktion ein Polynom ist, muß das Lagrangepolynom genau dieses Polynom sein und nicht etwa irgendein anderes. Und deshalb kannst Du den von Dir geplanten Schluß so ziehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Do 17.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Okay stimmt ... das habe ich stillschweigend einfach vorausgesetzt ohne die Begründung wirklich zu liefern... danke :)
Hätte vllt jmd noch einen Ansatz zu Teil (b) ?
Gruß Zerwas
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> (b) [mm]\forall k=1,...,n:\summe_{i=0}^{n} \zeta_i^k L_i(0)=0[/mm]
Hallo,
[mm] p(x):=:\summe_{i=0}^{n}\zeta_i^k L_i(0) [/mm] ist doch das Polynom, welches die Funktion f mit [mm] f(x):=x^k
[/mm]
an den Stützstellen [mm] \zeta_i [/mm] (i=0,...n) interpoliert.
Die Begründung müßte dann ja wieder so laufen wie bei a).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
autsch ... ja klar ... da stand ich komplett auf dem schlauch ... danke :)
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| Aufgabe | | Ich komme beim Beweisteil b) nicht voran |
Hallo,
ich habe die gleiche Aufgabe zu lösen wie oben. Den Beweisteil a habe ich verstanden, trotzdem komme ich beim Teil b) nicht voran.
Kann jemand einen weiteren Tipp geben?
Ich habe die Summe aufgeschrieben und weiss nun nicht weiter..
Danke im voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 18.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:49 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
zu (a):
kann man auch vollstaendige Induktion verwenden ?
Jedoch , ich habe dann das Problem die Aussage fuer n=0 zu zeigen.
Gruss
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 15.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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