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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 So 22.05.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Gegeben sei eine kubische Gleichung der Form [mm] x^3 +px + q[/mm] mit [mm] p,q \in \IQ[/mm]. Seien [mm] x_1 , x_2 ,x_3 [/mm] die zunächst unbekannten Lösungen der Gleichung und sein [mm]\zeta \not= 0 [/mm] eine dritte Einheitswurzel. Das Polynom [mm]h(x_1 ,x_2 ,x_2 ):=x_1+\zeta x_2 +\zeta^2 x_3 [/mm] in den Variablen [mm]x_1 ,x_2 ,x_2 [/mm] bezeichnen wir als Lagrange-Resolvente.
(a) Bestimmen Sie den Orbit [mm]S_3 (h^3 )[/mm] der dritten Potenz der Lagrange-Resolvente unter den Operationen von [mm]S_3 [/mm] |
Naja, Algebra ist nicht meins, aber ich probier mein Bestes das zu verstehen...
Aber um hier unnötig viel zu rechnen mit vielen Fehlerquellen, hab ich eine Nachfrage bezüglich meines Vorgehens:
Ich würde jetzt zuerst [mm]h^3 [/mm] berechnen und danach dann das mit dem Orbit. [mm] h^3 [/mm] zu berechnen ist halt eher umständlich...
dabei kann ich dann benutzen, dass [mm]x_1+x_2 \zeta +x_3 \zeta^2 =0[/mm] ist, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 22.05.2011 | | Autor: | ella87 |
kann das sein, dass das was ich geschrieben haben zu kompliziert ist und
[mm]S_3 (h^3 ) = \{ (x_1 +\zeta x_2 +\zeta^2 x_3 )^3 , (x_1 +\zeta x_3 +\zeta^2 x_2 )^3 ,
(x_2 +\zeta x_1 +\zeta^2 x_3 )^3 , (x_2 +\zeta x_3 +\zeta^2 x_1 )^3 ,
(x_3 +\zeta x_2 +\zeta^2 x_1 )^3 , (x_3 +\zeta x_1 +\zeta^2 x_2 )^3 \} [/mm]
ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 So 22.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> kann das sein, dass das was ich geschrieben haben zu
> kompliziert ist und
> [mm]S_3 (h^3 ) = \{ (x_1 +\zeta x_2 +\zeta^2 x_3 )^3 , (x_1 +\zeta x_3 +\zeta^2 x_2 )^3 ,
(x_2 +\zeta x_1 +\zeta^2 x_3 )^3 , (x_2 +\zeta x_3 +\zeta^2 x_1 )^3 ,
(x_3 +\zeta x_2 +\zeta^2 x_1 )^3 , (x_3 +\zeta x_1 +\zeta^2 x_2 )^3 \}[/mm]
>
> ist?
Ja.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 So 22.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben sei eine kubische Gleichung der Form [mm]x^3 +px + q[/mm]
> mit [mm]p,q \in \IQ[/mm]. Seien [mm]x_1 , x_2 ,x_3[/mm] die zunächst
> unbekannten Lösungen der Gleichung und sein [mm]\zeta \not= 0[/mm]
> eine dritte Einheitswurzel. Das Polynom [mm]h(x_1 ,x_2 ,x_2 ):=x_1+\zeta x_2 +\zeta^2 x_3[/mm]
> in den Variablen [mm]x_1 ,x_2 ,x_2[/mm] bezeichnen wir als
> Lagrange-Resolvente.
>
> (a) Bestimmen Sie den Orbit [mm]S_3 (h^3 )[/mm] der dritten Potenz
> der Lagrange-Resolvente unter den Operationen von [mm]S_3[/mm]
>
> Naja, Algebra ist nicht meins, aber ich probier mein Bestes
> das zu verstehen...
> Aber um hier unnötig viel zu rechnen mit vielen
> Fehlerquellen, hab ich eine Nachfrage bezüglich meines
> Vorgehens:
>
> Ich würde jetzt zuerst [mm]h^3[/mm] berechnen und danach dann das
> mit dem Orbit. [mm]h^3[/mm] zu berechnen ist halt eher
> umständlich...
Das ist nicht noetig, wie du ja schon herausgefunden hast.
> dabei kann ich dann benutzen, dass [mm]x_1+x_2 \zeta +x_3 \zeta^2 =0[/mm]
> ist, oder?
Nein! Hier fasst du [mm] $x_1, x_2, x_3$ [/mm] als Unbestimmte auf (andernfalls ist $h$ kein Polynom). Und selbst wenn [mm] $x_1, x_2, x_3$ [/mm] die Loesungen von [mm] $x^3 [/mm] +px + q = 0$ waeren, so waer noch lange nicht [mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 \zeta [/mm] + [mm] x_3 \zeta^2 [/mm] = 0$.
(Das, was in der urspruenglichen Version stand, die du dann bearbeitet hast, war korrekt: es gilt $1 + [mm] \zeta [/mm] + [mm] \zeta^2 [/mm] = 0$. Aber das bringt dir hier nicht viel...)
LG Felix
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