Lagrange und die Zwangskraft < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überschrift: Achterbahn
Ein Massenpunkt wird durch eine Schiene reibungsfrei in der x-z-Ebene auf der Bahn z=F(x) gehalten. In negativer z-Richtung wirkt die Schwerkraft.
a) Die unabhängige Koordinate ist x. Berechnen Sie die Beschleunigung in diesem System.
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen mit geeignet gerichteter Zwangskraft auf.
c) Wie lautet der Betrag der Zwangskraft als Funktion von v, F'(x) und F''(x), wobei v der Betrag der Geschwindigkeit ist. |
Benutzen sollen wir den Lagrange-Formalismus!
Die unabhängige Koordinate ist x, also wirkt die Zwangskraft nur in z-Richtung.
a) scheint mir irgendwie trivial, da durch die Gravitationskraft und die Zwangskraft die Beschleunigung vorgegeben ist, die sich auch durch den Lagrange-Formalismus ergibt, jedoch erst bei b) machen soll, was mich verwundert.
Ohne Lagrange kann man sagen, dass die Beschleunigung
$ [mm] a_{res}=\bruch{F_Z}{m}-\bruch{m*g}{m}=\bruch{F_Z}{m}-g [/mm] $
ist.
zu b):
Mit der Euler-Lagrange-Gleichung Bewegungsgleichung aufstellen.
[mm] \bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial q^\circ}-\bruch{\partial L}{\partial q}=Q
[/mm]
Q ist die Zwangskraft, die in positiver z-Richtung wirkt.
Jetzt zur näheren Bestimmung:
[mm] L=T-V=\bruch{m}{2}*(x^\circ^2+q^\circ^2)-mgq
[/mm]
wobei q=z
Also:
[mm] \bruch{\partial L}{\partial q^\circ}=m*q^\circ
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial q}=-mg
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial q^\circ}=mq^{\circ\circ}
[/mm]
Dann kann ich natürlich alles einsetzen und kann daraus auch die Beschleunigung in diesem System bestimmen.
Was ich mit dem Q machen soll, ist mir aber ein Rätsel.
Wie gehe ich bei c) vor?
Übrigens: Der Kringel rechts über den Buchstaben ist die zeitliche Ableitung, eigentlich geschrieben durch einen Punkt über den Buchstaben, den ich hier aber nicht finde, bzw. nicht weiß, wie ich den machen kann.
Vielen Dank für Hilfe! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Sa 12.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Überschrift: Achterbahn
>
> Ein Massenpunkt wird durch eine Schiene reibungsfrei in der
> x-z-Ebene auf der Bahn z=F(x) gehalten. In negativer
> z-Richtung wirkt die Schwerkraft.
>
> a) Die unabhängige Koordinate ist x. Berechnen Sie die
> Beschleunigung in diesem System.
>
> b) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen mit geeignet
> gerichteter Zwangskraft auf.
>
> c) Wie lautet der Betrag der Zwangskraft als Funktion von
> v, F'(x) und F''(x), wobei v der Betrag der Geschwindigkeit
> ist.
> Benutzen sollen wir den Lagrange-Formalismus!
>
> Die unabhängige Koordinate ist x, also wirkt die
> Zwangskraft nur in z-Richtung.
Nein, die Zwangskraft hat die Richtung des Normalenvektors an die Bahnkurve. Die Wahl der unabhängigen Koordinate ist willkürlich.
> a) scheint mir irgendwie trivial, da durch die
> Gravitationskraft und die Zwangskraft die Beschleunigung
> vorgegeben ist, die sich auch durch den
> Lagrange-Formalismus ergibt, jedoch erst bei b) machen
> soll, was mich verwundert.
>
> Ohne Lagrange kann man sagen, dass die Beschleunigung
>
> [mm]a_{res}=\bruch{F_Z}{m}-\bruch{m*g}{m}=\bruch{F_Z}{m}-g[/mm]
>
> ist.
Zunächst einmal ist das nur die z-Komponente der Beschleunigung. Der Beschleunigungsvektor ist
[mm] \vektor{\ddot x\\\ddot z}[/mm] .
Nun ist
[mm] \dot z = \bruch{d}{dt} F(x) =F'(x)\dot x [/mm]
und
[mm] \ddot z = \bruch{d}{dt}(F'(x)\dot x) = F''(x)\dot{x}^2 +F'(x)\ddot {x} [/mm] .
> zu b):
>
> Mit der Euler-Lagrange-Gleichung Bewegungsgleichung
> aufstellen.
>
> [mm]\bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial q^\circ}-\bruch{\partial L}{\partial q}=Q[/mm]
>
> Q ist die Zwangskraft, die in positiver z-Richtung wirkt.
Wie schon gesagt, ist das falsch. Du musst in beiden Komponenten die Zwangskraft ansetzen.
> Übrigens: Der Kringel rechts über den Buchstaben ist die
> zeitliche Ableitung, eigentlich geschrieben durch einen
> Punkt über den Buchstaben, den ich hier aber nicht finde,
> bzw. nicht weiß, wie ich den machen kann.
\dot{x} bzw. \ddot{x}
Viele Grüße
Rainer
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Dann heißt es für die z-Richtung (?):
$ [mm] \bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_{z}}}-\bruch{\partial L}{\partial q_z}=Q_z [/mm] $
$ [mm] L=T-V=\bruch{m}{2}\cdot{}(\dot{q_x}^2+\dot{q_z}^2)-mgq_z [/mm] $
$ [mm] \bruch{\partial L}{\partial \dot{q_{z}}}=m\cdot{}\dot{q_z} [/mm] $
$ [mm] \bruch{\partial L}{\partial q_z}=-mg [/mm] $
$ [mm] \bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_z}}=m\ddot{q_z} [/mm] $
Und für die x-Richtung (?):
$ [mm] \bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_{x}}}-\bruch{\partial L}{\partial q_x}=Q_x [/mm] $
[mm] L=T=\bruch{m}{2}\cdot{}(\dot{q_x}^2+\dot{q_z}^2)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial \dot{q_x}}=m \dot{q_x}
[/mm]
$ [mm] \bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_x}}=m\ddot{q_x} [/mm] $
[mm] \bruch{\partial L}{\partial q_x}=0
[/mm]
Oder muss ich da anders rangehen? Muss mich in den Lagrange-Formalismus erst einarbeiten.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 So 13.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Dann heißt es für die z-Richtung (?):
>
> [mm]\bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_{z}}}-\bruch{\partial L}{\partial q_z}=Q_z[/mm]
>
> [mm]L=T-V=\bruch{m}{2}\cdot{}(\dot{q_x}^2+\dot{q_z}^2)-mgq_z[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_{z}}}=m\cdot{}\dot{q_z}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial q_z}=-mg[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_z}}=m\ddot{q_z}[/mm]
>
> Und für die x-Richtung (?):
>
> [mm]\bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_{x}}}-\bruch{\partial L}{\partial q_x}=Q_x[/mm]
>
> [mm]L=T=\bruch{m}{2}\cdot{}(\dot{q_x}^2+\dot{q_z}^2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_x}}=m \dot{q_x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dt}\bruch{\partial L}{\partial \dot{q_x}}=m\ddot{q_x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial q_x}=0[/mm]
Das ist richtig.
Du hast aber noch weitere Informationen. Wie ich dir vorgerechnet habe, ist die Geschwindigkeit entlang der Bahn (ich schreibe x und z für die Koordinaten):
[mm] \vektor{\dot x\\\dot x F'(x)} [/mm] .
Dies ist ein Tangentialvektor an die Bahnkurve. Da die Zwangskraft [mm] $\vektor{Q_x\\Q_z}$ [/mm] senkrrecht dazu wirkt, kannst du die Richtung der Zwangskraft schon angeben (wie auch in Aufgabenteil b gefordert). D.h. du kennst das Verhältnis von [mm] $Q_x$ [/mm] und [mm] $Q_z$. [/mm] Lediglich der Betrag der Zwangskraft muss noch bestimmt werden.
Viele Grüße
Rainer
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> Wie ich dir
> vorgerechnet habe, ist die Geschwindigkeit entlang der Bahn
> (ich schreibe x und z für die Koordinaten):
>
> [mm]\vektor{\dot x\\\dot x F'(x)}[/mm] .
>
> Dies ist ein Tangentialvektor an die Bahnkurve. Da die
> Zwangskraft [mm]\vektr{Q_x\\Q_z}[/mm] senkrrecht dazu wirkt, kannst
> du die Richtung der Zwangskraft schon angeben (wie auch in
> Aufgabenteil b gefordert). D.h. du kennst das Verhältnis
> von [mm]Q_x[/mm] und [mm]Q_z[/mm]. Lediglich der Betrag der >Zwangskraft muss
> noch bestimmt werden.
Um die Richtung der Zwangskraft zu bestimmen, würde ich [mm]Q_x[/mm] und [mm]Q_z[/mm] addieren, wozu brauche ich das Verhältnis?
Raus bekomme ich dann nach Einsetzung in die Euler-Lagrange-Gleichung:
[mm]Q_z=m\ddot{q_z}+mg [/mm]
[mm] Q_x=m\ddot{q_x} [/mm]
[mm]Q_z+Q_x=m\ddot{q_z}+mg+m\ddot{q_x} [/mm]
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 13.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Wie ich dir
> > vorgerechnet habe, ist die Geschwindigkeit entlang der Bahn
> > (ich schreibe x und z für die Koordinaten):
> >
> > [mm]\vektor{\dot x\\\dot x F'(x)}[/mm] .
> >
> > Dies ist ein Tangentialvektor an die Bahnkurve. Da die
> > Zwangskraft [mm]\vektor{Q_x\\Q_z}[/mm] senkrrecht dazu wirkt, kannst
> > du die Richtung der Zwangskraft schon angeben (wie auch in
> > Aufgabenteil b gefordert). D.h. du kennst das Verhältnis
> > von [mm]Q_x[/mm] und [mm]Q_z[/mm]. Lediglich der Betrag der >Zwangskraft muss
> > noch bestimmt werden.
>
> Um die Richtung der Zwangskraft zu bestimmen, würde ich
> [mm]Q_x[/mm] und [mm]Q_z[/mm] addieren, wozu brauche ich das Verhältnis?
Die Zwanskraft ist der Vektor [mm]\vektor{Q_x\\Q_z}[/mm], wieso willst du dessen Komponenten addieren?
Warum schreibst du nicht die Bedingung auf, die ich dir genannt habe? Die Zwangskraft [mm]\vektor{Q_x\\Q_z}[/mm] steht senkrecht auf dem Tangentialvektor [mm]\vektor{\dot x\\\dot x F'(x)}[/mm] der Bahnkurve.
> Raus bekomme ich dann nach Einsetzung in die
> Euler-Lagrange-Gleichung:
>
> [mm]Q_z=m\ddot{q_z}+mg [/mm]
>
> [mm]Q_x=m\ddot{q_x} [/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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Mir kommt zu den partiellen Ableitungen eine Frage:
Geschrieben habe ich ja:
[mm] $ L=T=\bruch{m}{2}\cdot{}(\dot{q_x}^2+\dot{q_z}^2) $
$ \bruch{\partial L}{\partial \dot{q_x}}=m \dot{q_x} $ [/mm]
z oder eben [mm] q_z [/mm] ist von x abhängig (siehe Aufgabenstellung), müsste also bei der Ableitung doch berücksichtigt werden, oder? Folglich wäre die partielle Ableitung falsch.
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:56 Di 15.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du leitest doch nicht nach x ab, sondern partiell nach [mm] q_z' [/mm] also ist deine abl. richtig, wie dir auch schon rainer bestaetigt hat.
gruss leduart
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Mir ist dennoch nicht klar, wie ich die Richtung mit folgender Information angeben kann:
Zitat: "Die Zwangskraft $ [mm] \vektor{Q_x\\Q_z} [/mm] $ steht senkrecht auf dem Tangentialvektor $ [mm] \vektor{\dot x\\\dot x F'(x)} [/mm] $ der Bahnkurve."
Skalarprodukt beider gleich 0? Aber die Richtung kann ich dadurch nicht angeben. Und mit dem genannten Verhältnis kann ich irgendwie auch nichts anfangen.
Vielen Dank (für die letzte Hilfe)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Di 15.05.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Mir ist dennoch nicht klar, wie ich die Richtung mit
> folgender Information angeben kann:
>
> Zitat: "Die Zwangskraft [mm]\vektor{Q_x\\Q_z}[/mm] steht senkrecht
> auf dem Tangentialvektor [mm]\vektor{\dot x\\\dot x F'(x)}[/mm] der
> Bahnkurve."
>
> Skalarprodukt beider gleich 0?
Das ist die übliche Bedingung für zwei zueinander senkrechte Vektoren.
> Aber die Richtung kann ich
> dadurch nicht angeben.
Aber sicher doch, bis auf das Vorzeichen.
> Und mit dem genannten Verhältnis
> kann ich irgendwie auch nichts anfangen.
Schreib dir die Bedingung einfach mal hin!
Viele Grüße
Rainer
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