Lagrangesche Multiplikatoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie das Maximum der Funktion
[mm] f(x,y)=y^4 [/mm] + [mm] 6xy^2
[/mm]
auf dem Einheitskreis, d.h. mit der Nebenbedingung
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1
a) Direkt: Lösen Sie die Nebenbedingung nach y aufm setzen sie dies in f(x,y) ein und bestimmen Sie das Maximum von f als Funktion der einen unabhängigen Variablen x
b) Mit der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren: Benutzen Sie die Funktion
f(x,y = f(x,y) - [mm] \lambda[x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -1]
und bestimmen Sie die Koordinaten des Maximums un den Wert von [mm] \lambda [/mm] durch Lösen der 3 Gleichungen
dI/dx = 0 , dI/dy = 0 und [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -1 = 0
c) können Sie einen Vorteil der Lagrange-Multiplikatoren gegenüber der direkten Methode erkennen? |
Guten Abend!
Zuallererst: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Obwohl diese Aufgabe ja sehr nett gestellt ist und ich das Kochrezept ja direkt mitgeliefert bekommen habe, stecke ich fest. Für Teilaufgabe a) habe ich nach dem Lösen nach Oberstufenmanier das Maximum (0,5|2,8125) gefunden. Nachdem ich das mit Derive überprüft habe war ich mir damit auch sicher.
Bei Teilaufgabe b) habe ich nach dem Bilden der Ableitungen zunächst mit der Nebenbedingung das y durch [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] ersetzt, dann die beiden verbliebenen Gleichungen nach lambda aufgelöst und gleichgesetzt, als Lösung gefunden habe ich x=1. Eine andere Lösung für x habe ich nicht gefunden. Und da bin ich stutzig geworden: Der Vorzug der Lagrangeschen Multiplikatoren ist doch, dass man mehr Lösungen findet als auf dem direkten Weg, also hätte ich auch x=0.5 finden müssen, wie in Teilaufgabe a)...
Ich vermute, dass ich noch nicht so recht verstanden habe, wann ich die Lösungen füx x,y und lambda herauslesen muss, und wie ich dann damit weiter verfahren muss.
Bei Bedarf kann ich auch gerne meine Rechnungen posten, aber da ich vermute, dass das in diesem Fall nicht wesentlich zur Lösung des Problems beiträgt, habe ich das jetzt noch nicht getan.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Super wäre es auch, wenn ihr mir einen Tipp geben könnt, wie ich generell an solche Aufgaben herangehen kann 
viele freundliche Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 So 17.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Teil a. kann ich bestätigen.
Bei Teil b. ergibt sich genau mit dem Verfahren, das du beschrieben hast dieselbe kubische Gleichung für x wie in a. und außerdem noch die (unrauchbare) Lösung x=1, y=0, [mm] \lambda=0.
[/mm]
Vermutlich liegt doch nur ein Rechenfehler vor.
Gruß Sax.
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