Lagrangeschen Multiplikatoren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel das Minimum und das Maximum der Funktion
f: [mm] \IR^3 \to \IR
[/mm]
(x,y,z) [mm] \mapsto [/mm] 5x+y-3z
auf dem Schnitt der Ebene x+y+z=0 mit der Kugeloberfläche [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] (Begründung!) |
Hallo, mir fehlt hier ein Ansatz um die Lagrangebedinungen aufzulösen. Bin bisher soweit gekommen:
[mm] L(x,y,z,\lambda,\mu)= 5x+y-3z-\lambda(x+y+z)-\mu(x^2+y^2+z^2-1)
[/mm]
[mm] I.\bruch{\delta L}{\delta x}= 5-\lambda-2\mu*x=0
[/mm]
[mm] II.\bruch{\delta L}{\delta y}= 1-\lambda-2\mu*y=0
[/mm]
[mm] III.\bruch{\delta L}{\delta z}= -3-\lambda-2\mu*z=0
[/mm]
[mm] IV.\bruch{\delta L}{\delta \lambda}= [/mm] -x-y-z=0
[mm] V.\bruch{\delta L}{\delta \mu}= -x^2-y^2-z^2+1=0
[/mm]
Da das [mm] \lambda [/mm] eh nur stört hab ich versucht durch I.-II. dieses zu eliminieren..
I.-II. = [mm] 4-2\mu*x+2\mu*y=0
[/mm]
Hab aber nun überhaupt keinen Schimmer wie ich jetzt weitermachen soll um x,y,z herauszubekommen :(
Gruß
schwenker
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Fr 11.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> das Minimum und das Maximum der Funktion
> f: [mm]\IR^3 \to \IR[/mm]
> (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] 5x+y-3z
> auf dem Schnitt der Ebene x+y+z=0 mit der Kugeloberfläche
> [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] (Begründung!)
> Hallo, mir fehlt hier ein Ansatz um die Lagrangebedinungen
> aufzulösen. Bin bisher soweit gekommen:
>
> [mm]L(x,y,z,\lambda,\mu)= 5x+y-3z-\lambda(x+y+z)-\mu(x^2+y^2+z^2-1)[/mm]
>
> [mm]I.\bruch{\delta L}{\delta x}= 5-\lambda-2\mu*x=0[/mm]
>
> [mm]II.\bruch{\delta L}{\delta y}= 1-\lambda-2\mu*y=0[/mm]
>
> [mm]III.\bruch{\delta L}{\delta z}= -3-\lambda-2\mu*z=0[/mm]
>
> [mm]IV.\bruch{\delta L}{\delta \lambda}=[/mm] -x-y-z=0
>
> [mm]V.\bruch{\delta L}{\delta \mu}= -x^2-y^2-z^2+1=0[/mm]
>
> Da das [mm]\lambda[/mm] eh nur stört hab ich versucht durch I.-II.
> dieses zu eliminieren..
>
> I.-II. = [mm]4-2\mu*x+2\mu*y=0[/mm]
>
> Hab aber nun überhaupt keinen Schimmer wie ich jetzt
> weitermachen soll um x,y,z herauszubekommen :(
Addiere I+II+III und benutze IV (x+y+z=0). Dann bekommst du sofort [mm] $\lambda$. [/mm] Das setzt du in I,II und III ein, was dir y liefert.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
>
> > Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> > das Minimum und das Maximum der Funktion
> > f: [mm]\IR^3 \to \IR[/mm]
> > (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] 5x+y-3z
> > auf dem Schnitt der Ebene x+y+z=0 mit der
> Kugeloberfläche
> > [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] (Begründung!)
> > Hallo, mir fehlt hier ein Ansatz um die
> Lagrangebedinungen
> > aufzulösen. Bin bisher soweit gekommen:
> >
> > [mm]L(x,y,z,\lambda,\mu)= 5x+y-3z-\lambda(x+y+z)-\mu(x^2+y^2+z^2-1)[/mm]
>
> >
> > [mm]I.\bruch{\delta L}{\delta x}= 5-\lambda-2\mu*x=0[/mm]
> >
> > [mm]II.\bruch{\delta L}{\delta y}= 1-\lambda-2\mu*y=0[/mm]
> >
> > [mm]III.\bruch{\delta L}{\delta z}= -3-\lambda-2\mu*z=0[/mm]
> >
> > [mm]IV.\bruch{\delta L}{\delta \lambda}=[/mm] -x-y-z=0
> >
> > [mm]V.\bruch{\delta L}{\delta \mu}= -x^2-y^2-z^2+1=0[/mm]
> >
> > Da das [mm]\lambda[/mm] eh nur stört hab ich versucht durch I.-II.
> > dieses zu eliminieren..
> >
> > I.-II. = [mm]4-2\mu*x+2\mu*y=0[/mm]
> >
> > Hab aber nun überhaupt keinen Schimmer wie ich jetzt
> > weitermachen soll um x,y,z herauszubekommen :(
>
> Addiere I+II+III und benutze IV (x+y+z=0). Dann bekommst du
> sofort [mm]\lambda[/mm]. Das setzt du in I,II und III ein, was dir y
> liefert.
>
Danke Rainer für deinen Tipp.
I+II+III= [mm] 5-\lambda-2\mu*x+1-\lambda-2\mu*y-3-\lambda-2\mu*z=0
[/mm]
Da laut NB in IV. -x-y-z=0 sein soll bleibt nur noch [mm] 3-3\lambda=0 [/mm] übrig.
[mm] \gdw\lambda=1
[/mm]
Einsetzen in I,II,III liefert:
I. [mm] 4-2\mu*x=0 \gdw x=\bruch{2}{\mu}
[/mm]
[mm] II.-2\mu*y=0 \gdw [/mm] y=0
[mm] III.-4-2\mu*z=0 \gdw z=\bruch{-2}{\mu}
[/mm]
y=0 einsetzen in IV. liefert:
x=-z
Hier weiss ich nun aber nicht weiter, für Gleichung IV. ist y=0 und x=-z wahr, für Gleichung V. jedoch nicht ... :( ebenso stört mich das [mm] \mu [/mm] , wie bekomme ich Zahlenwerte für x, z heraus?
Gruß
schwenker
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Fr 11.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo!
> >
> > > Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> > > das Minimum und das Maximum der Funktion
> > > f: [mm]\IR^3 \to \IR[/mm]
> > > (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm] 5x+y-3z
> > > auf dem Schnitt der Ebene x+y+z=0 mit der
> > Kugeloberfläche
> > > [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] (Begründung!)
> > > Hallo, mir fehlt hier ein Ansatz um die
> > Lagrangebedinungen
> > > aufzulösen. Bin bisher soweit gekommen:
> > >
> > > [mm]L(x,y,z,\lambda,\mu)= 5x+y-3z-\lambda(x+y+z)-\mu(x^2+y^2+z^2-1)[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]I.\bruch{\delta L}{\delta x}= 5-\lambda-2\mu*x=0[/mm]
> > >
> > > [mm]II.\bruch{\delta L}{\delta y}= 1-\lambda-2\mu*y=0[/mm]
> > >
>
> > > [mm]III.\bruch{\delta L}{\delta z}= -3-\lambda-2\mu*z=0[/mm]
> >
> >
> > > [mm]IV.\bruch{\delta L}{\delta \lambda}=[/mm] -x-y-z=0
> > >
> > > [mm]V.\bruch{\delta L}{\delta \mu}= -x^2-y^2-z^2+1=0[/mm]
> > >
> > > Da das [mm]\lambda[/mm] eh nur stört hab ich versucht durch I.-II.
> > > dieses zu eliminieren..
> > >
> > > I.-II. = [mm]4-2\mu*x+2\mu*y=0[/mm]
> > >
> > > Hab aber nun überhaupt keinen Schimmer wie ich jetzt
> > > weitermachen soll um x,y,z herauszubekommen :(
> >
> > Addiere I+II+III und benutze IV (x+y+z=0). Dann bekommst du
> > sofort [mm]\lambda[/mm]. Das setzt du in I,II und III ein, was dir y
> > liefert.
> >
>
> Danke Rainer für deinen Tipp.
>
> I+II+III=
> [mm]5-\lambda-2\mu*x+1-\lambda-2\mu*y-3-\lambda-2\mu*z=0[/mm]
> Da laut NB in IV. -x-y-z=0 sein soll bleibt nur noch
> [mm]3-3\lambda=0[/mm] übrig.
> [mm]\gdw\lambda=1[/mm]
> Einsetzen in I,II,III liefert:
> I. [mm]4-2\mu*x=0 \gdw x=\bruch{2}{\mu}[/mm]
> [mm]II.-2\mu*y=0 \gdw[/mm]
> y=0
> [mm]III.-4-2\mu*z=0 \gdw z=\bruch{-2}{\mu}[/mm]
>
> y=0 einsetzen in IV. liefert:
> x=-z
>
> Hier weiss ich nun aber nicht weiter, für Gleichung IV.
> ist y=0 und x=-z wahr, für Gleichung V. jedoch nicht ...
Wieso denn das ? Mit z=-x und y=0 liefert Gl. V:
[mm] 2x^2=1
[/mm]
FRED
> :( ebenso stört mich das [mm]\mu[/mm] , wie bekomme ich Zahlenwerte
> für x, z heraus?
>
>
> Gruß
> schwenker
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> > > Hallo!
> > >
> > > > Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> > > > das Minimum und das Maximum der Funktion
> > > > f: [mm]\IR^3 \to \IR[/mm]
> > > > (x,y,z) [mm]\mapsto[/mm]
> 5x+y-3z
> > > > auf dem Schnitt der Ebene x+y+z=0 mit der
> > > Kugeloberfläche
> > > > [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] (Begründung!)
> > > > Hallo, mir fehlt hier ein Ansatz um die
> > > Lagrangebedinungen
> > > > aufzulösen. Bin bisher soweit gekommen:
> > > >
> > > > [mm]L(x,y,z,\lambda,\mu)= 5x+y-3z-\lambda(x+y+z)-\mu(x^2+y^2+z^2-1)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]I.\bruch{\delta L}{\delta x}= 5-\lambda-2\mu*x=0[/mm]
> >
> > >
> > > > [mm]II.\bruch{\delta L}{\delta y}= 1-\lambda-2\mu*y=0[/mm]
> >
> > >
> >
> > > > [mm]III.\bruch{\delta L}{\delta z}= -3-\lambda-2\mu*z=0[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > [mm]IV.\bruch{\delta L}{\delta \lambda}=[/mm] -x-y-z=0
> > > >
> > > > [mm]V.\bruch{\delta L}{\delta \mu}= -x^2-y^2-z^2+1=0[/mm]
> >
> > >
> > > > Da das [mm]\lambda[/mm] eh nur stört hab ich versucht durch I.-II.
> > > > dieses zu eliminieren..
> > > >
> > > > I.-II. = [mm]4-2\mu*x+2\mu*y=0[/mm]
> > > >
> > > > Hab aber nun überhaupt keinen Schimmer wie ich jetzt
> > > > weitermachen soll um x,y,z herauszubekommen :(
> > >
> > > Addiere I+II+III und benutze IV (x+y+z=0). Dann bekommst du
> > > sofort [mm]\lambda[/mm]. Das setzt du in I,II und III ein, was dir y
> > > liefert.
> > >
> >
> > Danke Rainer für deinen Tipp.
> >
> > I+II+III=
> > [mm]5-\lambda-2\mu*x+1-\lambda-2\mu*y-3-\lambda-2\mu*z=0[/mm]
> > Da laut NB in IV. -x-y-z=0 sein soll bleibt nur noch
> > [mm]3-3\lambda=0[/mm] übrig.
> > [mm]\gdw\lambda=1[/mm]
> > Einsetzen in I,II,III liefert:
> > I. [mm]4-2\mu*x=0 \gdw x=\bruch{2}{\mu}[/mm]
> > [mm]II.-2\mu*y=0 \gdw[/mm]
> > y=0
> > [mm]III.-4-2\mu*z=0 \gdw z=\bruch{-2}{\mu}[/mm]
> >
> > y=0 einsetzen in IV. liefert:
> > x=-z
> >
> > Hier weiss ich nun aber nicht weiter, für Gleichung IV.
> > ist y=0 und x=-z wahr, für Gleichung V. jedoch nicht ...
>
>
> Wieso denn das ? Mit z=-x und y=0 liefert Gl. V:
>
> [mm]2x^2=1[/mm]
>
> FRED
Mist, ich hab für Gleichung V mit z=-x und y=0 gerechnet:
V: [mm] -x^2-0^2+x^2+1=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1=0
hab verpeilt das ja das [mm] -x^2 [/mm] welches ja [mm] z^2 [/mm] ersetzt immer positiv ist und somit dort weiterhin [mm] -x^2-0^2-x^2+1=0 [/mm] steht...
[mm] \gdw 2x^2=1
[/mm]
[mm] \gdw x=\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] v [mm] x=-\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Damit hätte ich nun 2 Kandidaten:
[mm] P_{1}(\wurzel{\bruch{1}{2}},0,-\wurzel{\bruch{1}{2}})
[/mm]
[mm] P_{2}(-\wurzel{\bruch{1}{2}},0,\wurzel{\bruch{1}{2}})#
[/mm]
Einsetzen in f(x,y,z) liefert:
[mm] P_{1}\approx [/mm] 5,657 <--- globales Maximum
[mm] P_{2}\approx [/mm] -5,657 <--- globales Minimum
ich wundere mich nur gerade dass ich dort so "krumme" Ergebnisse erhalte :/
Gruß
schwenker
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Hallo schwenker,
> > > > Hallo!
> > > >
> > > > > Berechnen Sie mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel
> > > > > das Minimum und das Maximum der Funktion
> > > > > f: [mm]\IR^3 \to \IR[/mm]
> > > > > (x,y,z)
> [mm]\mapsto[/mm]
> > 5x+y-3z
> > > > > auf dem Schnitt der Ebene x+y+z=0 mit der
> > > > Kugeloberfläche
> > > > > [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] (Begründung!)
> > > > > Hallo, mir fehlt hier ein Ansatz um die
> > > > Lagrangebedinungen
> > > > > aufzulösen. Bin bisher soweit gekommen:
> > > > >
> > > > > [mm]L(x,y,z,\lambda,\mu)= 5x+y-3z-\lambda(x+y+z)-\mu(x^2+y^2+z^2-1)[/mm]
>
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> > > > > [mm]I.\bruch{\delta L}{\delta x}= 5-\lambda-2\mu*x=0[/mm]
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> > > > > [mm]II.\bruch{\delta L}{\delta y}= 1-\lambda-2\mu*y=0[/mm]
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> > > > > [mm]III.\bruch{\delta L}{\delta z}= -3-\lambda-2\mu*z=0[/mm]
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> > > > > [mm]IV.\bruch{\delta L}{\delta \lambda}=[/mm] -x-y-z=0
> > > > >
> > > > > [mm]V.\bruch{\delta L}{\delta \mu}= -x^2-y^2-z^2+1=0[/mm]
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> > > >
> > > > > Da das [mm]\lambda[/mm] eh nur stört hab ich versucht durch I.-II.
> > > > > dieses zu eliminieren..
> > > > >
> > > > > I.-II. = [mm]4-2\mu*x+2\mu*y=0[/mm]
> > > > >
> > > > > Hab aber nun überhaupt keinen Schimmer wie ich jetzt
> > > > > weitermachen soll um x,y,z herauszubekommen :(
> > > >
> > > > Addiere I+II+III und benutze IV (x+y+z=0). Dann bekommst du
> > > > sofort [mm]\lambda[/mm]. Das setzt du in I,II und III ein, was dir y
> > > > liefert.
> > > >
> > >
> > > Danke Rainer für deinen Tipp.
> > >
> > > I+II+III=
> > > [mm]5-\lambda-2\mu*x+1-\lambda-2\mu*y-3-\lambda-2\mu*z=0[/mm]
> > > Da laut NB in IV. -x-y-z=0 sein soll bleibt nur noch
> > > [mm]3-3\lambda=0[/mm] übrig.
> > > [mm]\gdw\lambda=1[/mm]
> > > Einsetzen in I,II,III liefert:
> > > I. [mm]4-2\mu*x=0 \gdw x=\bruch{2}{\mu}[/mm]
> > >
> [mm]II.-2\mu*y=0 \gdw[/mm]
> > > y=0
> > > [mm]III.-4-2\mu*z=0 \gdw z=\bruch{-2}{\mu}[/mm]
> > >
> > > y=0 einsetzen in IV. liefert:
> > > x=-z
> > >
> > > Hier weiss ich nun aber nicht weiter, für Gleichung IV.
> > > ist y=0 und x=-z wahr, für Gleichung V. jedoch nicht ...
> >
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> > Wieso denn das ? Mit z=-x und y=0 liefert Gl. V:
> >
> > [mm]2x^2=1[/mm]
> >
> > FRED
>
> Mist, ich hab für Gleichung V mit z=-x und y=0 gerechnet:
> V: [mm]-x^2-0^2+x^2+1=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 1=0
> hab verpeilt das ja das [mm]-x^2[/mm] welches ja [mm]z^2[/mm] ersetzt immer
> positiv ist und somit dort weiterhin [mm]-x^2-0^2-x^2+1=0[/mm]
> steht...
> [mm]\gdw 2x^2=1[/mm]
> [mm]\gdw x=\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] v
> [mm]x=-\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Damit hätte ich nun 2 Kandidaten:
> [mm]P_{1}(\wurzel{\bruch{1}{2}},0,-\wurzel{\bruch{1}{2}})[/mm]
> [mm]P_{2}(-\wurzel{\bruch{1}{2}},0,\wurzel{\bruch{1}{2}})#[/mm]
>
> Einsetzen in f(x,y,z) liefert:
> [mm]P_{1}\approx[/mm] 5,657 <--- globales Maximum
> [mm]P_{2}\approx[/mm] -5,657 <--- globales Minimum
>
> ich wundere mich nur gerade dass ich dort so "krumme"
> Ergebnisse erhalte :/
Die "krummen" Ergebnisse stimmen aber. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß
> schwenker
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Fr 11.02.2011 | | Autor: | schwenker |
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>
> Die "krummen" Ergebnisse stimmen aber.
>
>
> >
> > Gruß
> > schwenker
>
>
>
> Gruss
> MathePower
ok dann bin ich beruhigt :) vielen dank an alle :)
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