Lagrangesches Restglied < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Fr 21.08.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Welchen Fehler macht man höchstens, wenn man die Funktion f:[0,2] [mm] \to \IR [/mm] mit f(x)= exp(-x) durch [mm] \overline{f}: [/mm] [0,2] [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] \overline{f}(x)= [/mm] 1-x + [mm] 0,5x^{2}- \bruch{1}{6}x^{3} [/mm] ersetzt? |
Hallo,
Also zunächst mal hab ich herausgefunden, dass [mm] \overline{f}(x) [/mm] offensichtlich das Taylorpolynom vom Grad 3 um den Entwicklungspunkt 0 beschreibt. Nun muss ich doch das Lagrangesche Restglied berechnen, und da liegt mein Problem, das Lagrangesche Restglied sieht ja irgendwie so aus [mm] R_{3}(x) =\bruch{f^{(4)}(\xi)}{24}*x^{4}, [/mm] aber wie komm ich nun an das [mm] \xi? [/mm] Dass es der maximale Fehler sein soll, schreit irgendwie nach ableiten und Extremstelle suchen, ich weiß nur noch nicht wie.
Ich hoffe irgendjemand von euch kann mir weiterhelfen, vielen Dank bereits im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Fr 21.08.2009 | | Autor: | fred97 |
Betrachte
$| [mm] R_{3}(x)| =|\bruch{f^{(4)}(\xi)}{24}\cdot{}x^{4}| [/mm] $
für x [mm] \in [/mm] [0,2]. Dann liegt [mm] \xi [/mm] ebenfalls in diesem Intervall.
Dann ist [mm] f^{(4)}(\xi) \le [/mm] ?? und [mm] x^4 \le [/mm] ???
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:31 Fr 21.08.2009 | | Autor: | ms2008de |
> Betrachte
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> [mm]| R_{3}(x)| =|\bruch{f^{(4)}(\xi)}{24}\cdot{}x^{4}|[/mm]
>
> für x [mm]\in[/mm] [0,2]. Dann liegt [mm]\xi[/mm] ebenfalls in diesem
> Intervall.
>
> Dann ist [mm]f^{(4)}(\xi) \le[/mm] ?? und [mm]x^4 \le[/mm] ???
>
>
> FRED
>
>
Also [mm] f^{(4)}(\xi)= -exp(-\xi), [/mm] das wird für [mm] \xi=2 [/mm] maximal ,also ist [mm] f^{(4)}(\xi) \le [/mm] -exp(-2) und [mm] x^{4}\le [/mm] 16, aber müsste ich hier nicht sowohl bei [mm] x^{4} [/mm] als auch bei [mm] f^{(4)}(\xi) [/mm] bereits einzeln betrachten, wo der Betrag maximal wird? Denn [mm] |\bruch{2*(-exp(-2))}{3}| [/mm] ist offensichtlich kleiner als [mm] |\bruch{2*(-exp(0))}{3}|=\bruch{2}{3}
[/mm]
und ich würd mal behaupten, dass damit [mm] \bruch{2}{3} [/mm] der maximale Fehler ist...
Stimmt das?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:36 Fr 21.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Betrachte
> >
> > [mm]| R_{3}(x)| =|\bruch{f^{(4)}(\xi)}{24}\cdot{}x^{4}|[/mm]
> >
> > für x [mm]\in[/mm] [0,2]. Dann liegt [mm]\xi[/mm] ebenfalls in diesem
> > Intervall.
> >
> > Dann ist [mm]f^{(4)}(\xi) \le[/mm] ?? und [mm]x^4 \le[/mm] ???
Pardon ! Da hatte ich Beträge vergessen. Es soll lauten:
[mm]|f^{(4)}(\xi)| \le[/mm]
Jetzt mach Dich nochmal dran
FRED
> >
> >
> > FRED
> >
> >
> Also [mm]f^{(4)}(\xi)= -exp(-\xi),[/mm] das wird für [mm]\xi=2[/mm] maximal
> ,also ist [mm]f^{(4)}(\xi) \le[/mm] -exp(-2) und [mm]x^{4}\le[/mm] 16, aber
> müsste ich hier nicht sowohl bei [mm]x^{4}[/mm] als auch bei
> [mm]f^{(4)}(\xi)[/mm] bereits einzeln betrachten, wo der Betrag
> maximal wird? Denn [mm]|\bruch{2*(-exp(-2))}{3}|[/mm] ist
> offensichtlich kleiner als
> [mm]|\bruch{2*(-exp(0))}{3}|=\bruch{2}{3}[/mm]
> und ich würd mal behaupten, dass damit [mm]\bruch{2}{3}[/mm] der
> maximale Fehler ist...
>
> Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:51 Fr 21.08.2009 | | Autor: | ms2008de |
Das ändert letztlich nix an meinem endgültigen Ergebnis von [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
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> Das ändert letztlich nix an meinem endgültigen Ergebnis
> von [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
Hallo,
das nicht, aber Du kommst so auf einem nachvollzihbaren Weg zum Ergebnis.
Gruß v. Angela
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