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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mo 04.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] T_2(x;-1) [/mm] für die Fkt. f(x)=ln(x+2). Errechnen Sie einen Näherungswert für ln(0,8)=ln(-1,2+2) und schätzen Sie den Fehler mit der Restgliedformel von Lagrange ab. |
Hallo, ich komme mit der Lagrangschen Fehlerabschätzung mit Hilfe der Restglieformel nicht ganz klar.
Das Taylorpolynom sowie den Näherungswert habe ich...das spielt hier erstmal keine Rolle.
Die Ableitungen sind übrigens:
f'(x) = [mm] (x+2)^{-1}
[/mm]
f''(x) = [mm] (-1)(x+2)^{-2}
[/mm]
f'''(x) = [mm] (-2)(-1)(x+2)^{-3} [/mm] bzw. [mm] \bruch{2}{(x+2)^3} [/mm]
Beim Einsetzen des Ent.punktes in die Fkt. und deren Ableitungen kommt:
f(-1)=0
f'(-1)=1
f''(-1)=-1
f'''(-1)=2
__________________________
Bei der Fehlerabschätzung bin ich soweit:
Der Zähler oben links ist übrigens die dritte Ableitung der Ausgangsfunktion.
[mm] |R_2(-1,2;-1)| [/mm] = | [mm] \bruch{2(x+2)^{-3}}{(2+1)!} [/mm] * [mm] (-1,2-(-1))^3 [/mm] |
Dann habe ich geguckt, mit welchem Wert (-1,2 oder -1 der Zähler auf der linken Seite am größten wird. Und das wäre -,2. Denn dadurch wird der Bruch kleiner->insgesamt also wird die Fkt. größer.
Deshalb habe ich dann für x -1,2 eingesetzt:
[mm] |R_2(-1,2;-1)| [/mm] = | [mm] \bruch{2(-,2+2)^{-3}}{6} [/mm] * [mm] (-1,2-(-1))^3 [/mm] |
Raus habe ich
[mm] |R_2(-1,2;-1)| [/mm] < [mm] -\bruch{1}{192} [/mm]
Laut Musterlösung kommt allerdings irgendwie rund 0,0056 raus.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar. LG
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Hallo dudu93,
> Bestimmen Sie [mm]T_2(x;-1)[/mm] für die Fkt. f(x)=ln(x+2).
> Errechnen Sie einen Näherungswert für ln(0,8)=ln(-1,2+2)
> und schätzen Sie den Fehler mit der Restgliedformel von
> Lagrange ab.
> Hallo, ich komme mit der Lagrangschen Fehlerabschätzung
> mit Hilfe der Restglieformel nicht ganz klar.
>
> Das Taylorpolynom sowie den Näherungswert habe ich...das
> spielt hier erstmal keine Rolle.
>
> Die Ableitungen sind übrigens:
>
> f'(x) = [mm](x+2)^{-1}[/mm]
> f''(x) = [mm](-1)(x+2)^{-2}[/mm]
> f'''(x) = [mm](-2)(-1)(x+2)^{-3}[/mm] bzw. [mm]\bruch{2}{(x+2)^3}[/mm]
>
> Beim Einsetzen des Ent.punktes in die Fkt. und deren
> Ableitungen kommt:
>
> f(-1)=0
> f'(-1)=1
> f''(-1)=-1
> f'''(-1)=2
>
> __________________________
>
> Bei der Fehlerabschätzung bin ich soweit:
>
> Der Zähler oben links ist übrigens die dritte Ableitung
> der Ausgangsfunktion.
>
> [mm]|R_2(-1,2;-1)|[/mm] = | [mm]\bruch{2(x+2)^{-3}}{(2+1)!}[/mm] *
> [mm](-1,2-(-1))^3[/mm] |
>
> Dann habe ich geguckt, mit welchem Wert (-1,2 oder -1 der
> Zähler auf der linken Seite am größten wird. Und das
> wäre -,2. Denn dadurch wird der Bruch kleiner->insgesamt
> also wird die Fkt. größer.
>
> Deshalb habe ich dann für x -1,2 eingesetzt:
>
> [mm]|R_2(-1,2;-1)|[/mm] = | [mm]\bruch{2(-,2+2)^{-3}}{6}[/mm] * [mm](-1,2-(-1))^3[/mm]
> |
>
> Raus habe ich
>
> [mm]|R_2(-1,2;-1)|[/mm] < [mm]-\bruch{1}{192}[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]|R_2(-1,2;-1)| < \blue{+}\bruch{1}{192}[/mm]
> Laut Musterlösung kommt allerdings irgendwie rund 0,0056
> raus.
>
In der Musterlösung wurde für den Nenner eine Zwischenstelle [mm]\xi[/mm],
die außerhalb von dem betrachten Intervall liegt, verwendet.
[mm]\xi[/mm] muß zwischen -1,2 und -1 liegen,
insofern hast Du alles richtig gemacht.
> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar. LG
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Mi 06.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Vielen Dank für die Antwort!
Meine erste Frage dazu:
Wieso genau muss es + 1/192 sein?
________________
Und meinst du es mit der Zwischenstelle etwa so?
[mm] |R_2(-1,2;-1)| [/mm] = | [mm] \bruch{2(-1,2+2)^{-3}}{6*(-1,1)} [/mm] * [mm] (-1,2-(-1))^3 [/mm] |
Ich habe für die Zwischenstelle -1,1 eingesetzt, da du ja sagtest, dass man dafür etwas wählt, das zwischen -1,2 und -1 liegt.
Rauskommen würde dann:
[mm] \bruch{5}{1056} [/mm] bzw. rund 0,0047
Wäre das so richtig? Das weicht ja auch von der Musterlösung ab. Also gibt's bei der Fehlereinschätzung immer mehrere Möglichkeiten?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Mi 06.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
"zwischen war etwas ungenau, [mm] \xi [/mm] muss aus dem abgeschlossenen Intervall sein. fuer eine Abschaetzung muss man den unguenstigsten Fall nehmen, also wie du die -1.2
also ist die Musterloesung falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mi 06.06.2012 | | Autor: | dudu93 |
Alles klar. Besten Dank!
Und wieso muss es nun statt -1/192 +1/192 heißen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Mi 06.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
genauer muss es [mm] \pm [/mm] heissen!aber Fehler gibt man immer mit dem Betrag an.
Gruss leduart
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