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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 So 27.04.2014 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | a) Für welche n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] f''(x)-\bruch{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2} [/mm] = [mm] O(h^n) [/mm] für h [mm] \to, [/mm] unter der Annahme, dass f [mm] \in C^3(\IR,\IR), ||f'''||<\infty.
[/mm]
b) Sei [mm] a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n+2}:= a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] für n [mm] \in \IN_{0}. [/mm] Bestimmen Sie möglichst alle [mm] \alpha, \beta \in \IR, [/mm] so dass [mm] a_{n} [/mm] = [mm] O(n^\alpha), a_{n} [/mm] = [mm] O(\beta^n) [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gilt. |
Hallo zusammen,
ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Leider finde ich hier keinen Ansatz, da ich mit dem Symbol [mm] O(h^n) [/mm] nichts anfangen kann. Prinzipiell bedeutet O(h) ja, dass [mm] \limes_{x\rightarrow a}sup|\bruch{f(x)}{h(x)}| [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Aber was passiert, wenn es nicht um O(h), sondern um [mm] O(h^n) [/mm] geht?
Das Gleiche ist bei Teilaufgabe b).
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 So 27.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Arthaire,
> a) Für welche n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]f''(x)-\bruch{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}[/mm] = [mm]O(h^n)[/mm] für h
> [mm]\to,[/mm] unter der Annahme, dass f [mm]\in C^3(\IR,\IR), ||f'''||<\infty.[/mm]
Gegen was geht denn [mm] $h\$? [/mm] Ich vermute
[mm] $h\to [/mm] 0$.
Ich setze mal
[mm] g(x):=f''(x)-\bruch{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}.
[/mm]
Deine Frage ist nun: Was bedeutet folgender Ausdruck:
[mm] g(x)=\mathcal O(x^n) $(x\to [/mm] 0)$ mit [mm] n\in\IN
[/mm]
Antwort in Worten:
[mm] \frac{g(x)}{x^n} [/mm] ist in der Nähe von Null beschränkt!
Alles klar?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 27.04.2014 | | Autor: | Arthaire |
Wenn ich ehrlich sein darf, dann nicht.
Den Bruch gegen null laufen lassen geht nicht, da der Zähler und der Nenner null würden. Und irgendwie komme ich danach nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 So 27.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Wenn ich ehrlich sein darf, dann nicht.
> Den Bruch gegen null laufen lassen geht nicht, da der
> Zähler und der Nenner null würden. Und irgendwie komme
> ich danach nicht weiter.
In solchen Fällen gibt es L'Hôpital. Das ist übrigens auch
der Grund für
[mm] $f\in C^3(\IR,\IR)$.
[/mm]
Ohne deinen Rechenweg kann ich dir auch nicht helfen.
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