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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Di 22.02.2011 | | Autor: | Spalding |
| Aufgabe | | Verständnis zu den Landau-Symbolen |
Hallo,
ich habe nur eine Frage zum Verständnis der Landau-Symbole.
Was man bei dem jeweiligen Symbol zeige soll:
Sei [mm] a_{n} [/mm] eine Folge.
1.) [mm] o(b_{n}), [/mm] dann muss man zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}} [/mm] = 0 ist.
2.) [mm] O(b_{n}), [/mm] dann muss man zeigen, dass 0 < [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{b_{n}}| [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
3.) [mm] a_{n}\sim b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}
[/mm]
ausrechnen
?
Gruß Spalding
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Hi,
> Verständnis zu den Landau-Symbolen
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> Hallo,
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> ich habe nur eine Frage zum Verständnis der
> Landau-Symbole.
> Was man bei dem jeweiligen Symbol zeige soll:
> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine Folge.
>
> 1.) [mm]o(b_{n}),[/mm] dann muss man zeigen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}[/mm] = 0 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2.) [mm]O(b_{n}),[/mm] dann muss man zeigen, dass 0 <
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{b_{n}}|[/mm] < [mm]\infty[/mm]
Genauer nimmst du den [mm] \lim \sup
[/mm]
EDIT: Siehe zusätzlich felix Hinweis. Danke!
>
> 3.) [mm]a_{n}\sim b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}[/mm]
Soll das heißen [mm] a_n\in\Theta(b_n)?
[/mm]
Dann wäre zu zeigen [mm] $0<\lim\inf\left|\frac{a_n}{b_n}\right|\leq\lim\sup\left|\frac{a_n}{b_n}\right|<\infty$
[/mm]
>
> ausrechnen
>
> ?
>
> Gruß Spalding
Siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Definition
Gruß
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:28 Di 22.02.2011 | | Autor: | Spalding |
> > 3.) [mm]a_{n}\sim b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}[/mm]
>
danke..
das letzte soll eig nur heißen [mm] a_{n}\sim b_{n}
[/mm]
aber ich weiß nicht genau was das heißen soll..
bzw wenn das bei uns da stand, dann haben wir immer den
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}} [/mm] berechnet,
nur ich wollte wissen, was mir dann das ergebnis davon sagt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Di 22.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen,
> > 2.) [mm]O(b_{n}),[/mm] dann muss man zeigen, dass 0 <
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{b_{n}}|[/mm] < [mm]\infty[/mm]
> Genauer nimmst du den [mm]\lim \sup[/mm]
Vorsicht! Hier steht immer noch dabei, dass der Limes (superior) echt groesser als 0 sein muss! Das ist aber bei der Gross-O-Notation nicht der Fall, d.h. der Limes (superior) darf sehr wohl auch 0 sein, damit [mm] $a_n [/mm] = [mm] O(b_n)$ [/mm] gilt.
> > 3.) [mm]a_{n}\sim b_{n} \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n}}{b_{n}}[/mm]
>
> Soll das heißen [mm]a_n\in\Theta(b_n)?[/mm]
> Dann wäre zu zeigen
> [mm]0<\lim\inf\left|\frac{a_n}{b_n}\right|\leq\lim\sup\left|\frac{a_n}{b_n}\right|<\infty[/mm]
Ich denke er meint schon [mm] $\sim$. [/mm] In dem Fall gilt aber [mm] $a_n \sim b_n \Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} [/mm] = 1$.
(Beim [mm] $\Theta$ [/mm] ist der Grenzwert egal, hauptsache nicht 0 und endlich, aber bei [mm] $\sim$ [/mm] muss er genau 1 sein.)
(Damit laesst sich etwa der Primzahlsatz sehr griffig als [mm] $\pi(n) \sim \frac{\log n}{n}$ [/mm] formulieren.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Di 22.02.2011 | | Autor: | Spalding |
alles klar. vielen dank.
das reicht mir schon :) jetzt weiß ich was zu tun ist.
Danke!
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