Landau Symbol < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu beweisen:
Sei [mm] a_n [/mm] eine beliebige komplexe Folge.
[mm] o(a_n) [/mm] = [mm] o(|a_n|) [/mm] |
Hallo,
wir hatten das in der Vorlesung, aber ich komme mit dem Beweis nicht klar.
Für [mm] a_n [/mm] = 0 gilt Gleichheit der Mengen.
Sei nun [mm] a_n \not= [/mm] 0 für alle n.
Ich will erstmal zeigen [mm] o(a_n) \subseteq o(|a_n|).
[/mm]
Sei [mm] a_n \in o(a_n).
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{b_n}{a_n} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{b_n}{a_n}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|b_n|}{|a_n|} [/mm] = 0
Wie komme ich jetzt auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{b_n}{|a_n|} [/mm] = 0 ?
Wäre für Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 Di 27.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Zu beweisen:
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> Sei [mm]a_n[/mm] eine beliebige komplexe Folge.
>
> [mm]o(a_n)[/mm] = [mm]o(|a_n|)[/mm]
> Hallo,
>
> wir hatten das in der Vorlesung, aber ich komme mit dem
> Beweis nicht klar.
>
> Für [mm]a_n[/mm] = 0 gilt Gleichheit der Mengen.
> Sei nun [mm]a_n \not=[/mm] 0 für alle n.
> Ich will erstmal zeigen [mm]o(a_n) \subseteq o(|a_n|).[/mm]
>
> Sei [mm]a_n \in o(a_n).[/mm]
Du meinst [mm] $b_n\in o(a_n)\,,$ [/mm] oder?
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{b_n}{a_n}[/mm] =
> 0
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{b_n}{a_n}|[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|b_n|}{|a_n|}[/mm] = 0
>
> Wie komme ich jetzt auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{b_n}{|a_n|}[/mm] = 0 ?
Allgemein gilt für jede Folge [mm] $(x_n)$
[/mm]
[mm] $\lim x_n=0\quad\gdw\quad \lim |x_n| [/mm] = [mm] 0\,.$
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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Danke, der Hinweis hat mir sehr geholfen.
Sorry, ich meinte [mm] b_n\in o(a_n)
[/mm]
Ich habe jetzt auch versucht, diesen Tipp zu beweisen, weil wir das noch nicht hatten. Könntest du mal bitte gucken, ob das so stimmt?
Z.z.: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = 0 [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}|x_n| [/mm] = 0
Beweis:
[mm] ,,\Rightarrow" [/mm] Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (Re [mm] x_n)^2 [/mm] + (Im [mm] x_n)^2 [/mm] = [mm] \wurzel{(Re x_n)^2 + (Im x_n)^2} [/mm] * [mm] \wurzel{(Re x_n)^2 + (Im x_n)^2} \to [/mm] 0 = 0 * 0
[mm] \Rightarrow \wurzel{(Re x_n)^2 + (Im x_n)^2} \to [/mm] 0
,, [mm] \Leftarrow [/mm] "
[mm] \Rightarrow [/mm] Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|x_n| [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \wurzel{(Re x_n)^2 + (Im x_n)^2} \to [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \wurzel{(Re x_n)^2 + (Im x_n)^2} [/mm] * [mm] \wurzel{(Re x_n)^2 + (Im x_n)^2} [/mm] = (Re [mm] x_n)^2 [/mm] + (Im [mm] x_n)^2 \to [/mm] 0*0 = 0
Aber (Re [mm] x_n)^2, [/mm] (Im [mm] x_n)^2 \ge [/mm] 0 für alle n.
[mm] \Rightarrow [/mm] (Re [mm] x_n)^2, [/mm] (Im [mm] x_n)^2 \to [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (Re [mm] x_n), [/mm] (Im [mm] x_n) \to [/mm] 0
[mm] \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 Di 27.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Danke, der Hinweis hat mir sehr geholfen.
>
> Sorry, ich meinte [mm]b_n\in o(a_n)[/mm]
>
> Ich habe jetzt auch versucht, diesen Tipp zu beweisen, weil
> wir das noch nicht hatten. Könntest du mal bitte gucken,
> ob das so stimmt?
Ohh, das ist viel einfacher! Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gilt:
[mm] $\lim x_n [/mm] = [mm] 0\; \quad\gdw\quad |x_n [/mm] - 0| < [mm] \epsilon$ [/mm] für fast alle $n$
[mm] $\gdw\quad |x_n| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für fast alle $n$
[mm] $\gdw\quad \bigl||x_n|-0\bigr|<\epsilon$ [/mm] für fast alle $n$
[mm] $\gdw\quad \lim |x_n| [/mm] = [mm] 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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Ich habe doch noch eine Frage zum Landau Symbol.
Wieso ist [mm] \bruch{a_n + o(a_n)}{b_n + o(b_n)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{a_n}{b_n} + o(\bruch{a_n}{b_n})}{1 + o(1)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Do 29.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ich habe doch noch eine Frage zum Landau Symbol.
>
> Wieso ist [mm]\bruch{a_n + o(a_n)}{b_n + o(b_n)}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{a_n}{b_n} + o(\bruch{a_n}{b_n})}{1 + o(1)}[/mm]
Hallo Blackburn4717537,
die Beziehung folgt aus:
[mm] $\frac {a_n+c_n} {b_n+d_n} [/mm] = [mm] \frac {\frac {a_n} {b_n} + \frac {c_n} {b_n} } [/mm] {1 + [mm] \frac {d_n} {b_n}}$
[/mm]
und
[mm] $c_n\in o(a_n) \quad \gdw \quad \frac {c_n} {b_n} \in [/mm] o [mm] \left( \frac {a_n} {b_n}\right)$ [/mm]
und
[mm] $d_n \in o(b_n) \quad \gdw \quad \frac {d_n} {b_n} \in o(1)\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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Danke, das war sehr verständlich.
Wir hatten in der Vorlesung [mm] O(\varepsilon^n) \subset o(\delta^n) [/mm] für 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Irgendwie komme ich damit nicht klar.
Sei 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \delta [/mm]
[mm] \Rightarrow \varepsilon^n [/mm] < [mm] \delta^n
[/mm]
Sei [mm] a_n \in O(\varepsilon^n) [/mm]
[mm] \gdw a_n [/mm] = [mm] \lambda_n [/mm] * [mm] \varepsilon^n, \lambda_n [/mm] beschränkt
[mm] \gdw |a_n| \le [/mm] c * [mm] |\varepsilon^n| [/mm]
[mm] \gdw \bruch{a_n}{\varepsilon^n} [/mm] beschränkt.
[mm] \Rightarrow |\bruch{a_n}{\delta^n}| \le |\bruch{a_n}{\varepsilon^n}|\le [/mm] c ,da [mm] \varepsilon^n [/mm] < [mm] \delta^n
[/mm]
Ich will jetzt zeigen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{\delta^n} [/mm] = 0 ist, und somit wäre dann [mm] a_n \in o(\delta^n).
[/mm]
Wie mache ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Do 29.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Danke, das war sehr verständlich.
>
> Wir hatten in der Vorlesung [mm]O(\varepsilon^n) \subset o(\delta^n)[/mm]
> für 0 < [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\delta[/mm]
>
> Irgendwie komme ich damit nicht klar.
>
> Sei 0 < [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\delta[/mm]
> [mm]\Rightarrow \varepsilon^n[/mm] < [mm]\delta^n[/mm]
>
> Sei [mm]a_n \in O(\varepsilon^n)[/mm]
> [mm]\gdw a_n[/mm] = [mm]\lambda_n[/mm] * [mm]\varepsilon^n, \lambda_n[/mm] beschränkt
> [mm]\gdw |a_n| \le[/mm] c * [mm]|\varepsilon^n|[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{a_n}{\varepsilon^n}[/mm] beschränkt.
>
> [mm]\Rightarrow |\bruch{a_n}{\delta^n}| \le |\bruch{a_n}{\varepsilon^n}|\le[/mm]
> c ,da [mm]\varepsilon^n[/mm] < [mm]\delta^n[/mm]
>
> Ich will jetzt zeigen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{\delta^n}[/mm] = 0 ist,
> und somit wäre dann [mm]a_n \in o(\delta^n).[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wie mache ich das?
Da hast Du zu grob abgeschätzt. So geht's feiner:
$\left|\frac {a_n} {\delta^n\right| \le \frac {\epsilon^n} {\delta^n} * c \to 0\,.$
Gruß,
Wolfgang
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Danke, habs verstanden. :)
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass in der Notation der Landau Symbole gilt:
a) [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{n}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] + [mm] o(\bruch{1}{n})
[/mm]
b) [mm] \bruch{3n^3 + 2n^2 - n + 1}{n^2 - 4n + 7} [/mm] = 3n + O(1)
c) Falls [mm] a_n [/mm] = o(1), so folgt: [mm] \bruch{1}{1 + a_n} [/mm] = 1 - [mm] a_n [/mm] + [mm] o(a_n)
[/mm]
d) [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] = 1 + [mm] o(\bruch{1}{\wurzel{n}}) \forall [/mm] a > 0 |
Hallo,
ich habe die Aufgabe mal durchgerechnet, und möchte nur wissen, ob das so richtig ist?
a)
Sei [mm] a_n [/mm] := [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{n}} [/mm] - 1 - [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] , [mm] b_n [/mm] = [mm] o(\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \varepsilon_n [/mm] , [mm] \varepsilon_n [/mm] Nullfolge
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] Nullfolge
Zeige [mm] a_n [/mm] Nullfolge
Es ist: [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{n}} \to [/mm] 1
[mm] \Rightarrow a_n \to [/mm] 1 - 1 - 0 = 0
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] Nullfolge und somit [mm] a_n [/mm] = [mm] o(\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \wurzel{1 + \bruch{1}{n}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] + [mm] o(\bruch{1}{n})
[/mm]
b)
Z.z. [mm] \bruch{3n^3 + 2n^2 - n + 1}{n^2 - 4n + 7} [/mm] = 3n + O(1)
Es ist: 3n = [mm] \bruch{3n * (n^2 - 4n + 7)}{n^2 - 4n + 7} [/mm] = [mm] \bruch{3n^3 - 12n^2 + 21n}{n^2 - 4n + 7}
[/mm]
Sei [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{14n^2 - 22n + 1}{n^2 - 4n + 7}
[/mm]
Zeige [mm] a_n [/mm] beschränkt.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{14n^2 - 22n + 1}{n^2 - 4n + 7} [/mm] = [mm] \bruch{n^2 * (14 - \bruch{22}{n} + \bruch{1}{n^2})}{n^2 * (1 - \bruch{4}{n} + \bruch{7}{n^2})} \to [/mm] 14
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] beschränkt
[mm] \Rightarrow a_n \in [/mm] O(1)
Es gilt: [mm] a_n [/mm] + 3n = [mm] \bruch{3n^3 + 2n^2 - n + 1}{n^2 - 4n + 7}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{3n^3 + 2n^2 - n + 1}{n^2 - 4n + 7} [/mm] = 3n + O(1)
c)
Sei [mm] a_n [/mm] = o(1)
[mm] \Rightarrow a_n [/mm] Nullfolge
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 + [mm] a_n \to [/mm] 1 + 0 = 1
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{1 + a_n} \to [/mm] 1
Sei [mm] b_n [/mm] = [mm] o(a_n)
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] = [mm] \varepsilon_n [/mm] * [mm] a_n [/mm] , [mm] \varepsilon_n [/mm] Nullfolge
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] Nullfolge
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 - [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n \to [/mm] 1 - 0 + 0 = 1
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{1 + a_n} [/mm] = 1 - [mm] a_n [/mm] + [mm] o(a_n)
[/mm]
d)
Sei a > 0.
[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{a} \to [/mm] 1
(Aus Vorlesung) [mm] \bruch{1}{n^q} \to [/mm] 0 für q > 0
[mm] b_n [/mm] = [mm] o(\bruch{1}{\wurzel{n}})
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] = [mm] \varepsilon_n [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] , [mm] \varepsilon_n [/mm] Nullfolge
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] Nullfolge
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 + [mm] b_n \to [/mm] 1
[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{a} [/mm] = 1 + [mm] o(\bruch{1}{\wurzel{n}})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 01.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Zeigen Sie, dass in der Notation der Landau Symbole gilt:
>
> a) [mm]\wurzel{1 + \bruch{1}{n}}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] +
> [mm]o(\bruch{1}{n})[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{3n^3 + 2n^2 - n + 1}{n^2 - 4n + 7}[/mm] = 3n + O(1)
>
> c) Falls [mm]a_n[/mm] = o(1), so folgt: [mm]\bruch{1}{1 + a_n}[/mm] = 1 - [mm]a_n[/mm]
> + [mm]o(a_n)[/mm]
>
> d) [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] = 1 + [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}}) \forall[/mm] a >
> 0
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe mal durchgerechnet, und möchte nur
> wissen, ob das so richtig ist?
>
> a)
>
> Sei [mm]a_n[/mm] := [mm]\wurzel{1 + \bruch{1}{n}}[/mm] - 1 - [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] ,
> [mm]b_n[/mm] = [mm]o(\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm]\varepsilon_n[/mm] ,
> [mm]\varepsilon_n[/mm] Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow b_n[/mm] Nullfolge
>
> Zeige [mm]a_n[/mm] Nullfolge
>
> Es ist: [mm]\wurzel{1 + \bruch{1}{n}} \to[/mm] 1
>
> [mm]\Rightarrow a_n \to[/mm] 1 - 1 - 0 = 0
>
> [mm]\Rightarrow a_n[/mm] Nullfolge und somit [mm]a_n[/mm] = [mm]o(\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel{1 + \bruch{1}{n}}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] +
> [mm]o(\bruch{1}{n})[/mm]
Nein. Das reicht nicht! Du mußt zeigen:
[mm] $a_n\in [/mm] o(1/n)$, also [mm] $a_n*n \to 0\,.$
[/mm]
>
> b)
>
> Z.z. [mm]\bruch{3n^3 + 2n^2 - n + 1}{n^2 - 4n + 7}[/mm] = 3n + O(1)
>
> Es ist: 3n = [mm]\bruch{3n * (n^2 - 4n + 7)}{n^2 - 4n + 7}[/mm] =
> [mm]\bruch{3n^3 - 12n^2 + 21n}{n^2 - 4n + 7}[/mm]
Die erste Gleichung ist falsch!
>
> Sei [mm]a_n[/mm] := [mm]\bruch{14n^2 - 22n + 1}{n^2 - 4n + 7}[/mm]
>
> Zeige [mm]a_n[/mm] beschränkt.
Nein! Du mußt zeigen, daß [mm] $\bruch{3n^3 + 2n^2 - n + 1}{n^2 - 4n + 7} [/mm] -3n$ beschränkt ist.
>
> c)
>
> Sei [mm]a_n[/mm] = o(1)
>
> [mm]\Rightarrow a_n[/mm] Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 + [mm]a_n \to[/mm] 1 + 0 = 1
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{1 + a_n} \to[/mm] 1
>
> Sei [mm]b_n[/mm] = [mm]o(a_n)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_n[/mm] = [mm]\varepsilon_n[/mm] * [mm]a_n[/mm] , [mm]\varepsilon_n[/mm]
> Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow b_n[/mm] Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 - [mm]a_n[/mm] + [mm]b_n \to[/mm] 1 - 0 + 0 = 1
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{1 + a_n}[/mm] = 1 - [mm]a_n[/mm] + [mm]o(a_n)[/mm]
Nein. Du mußt zeigen:
[mm] $\frac{\frac 1 {1+a_n} - 1 + a_n} {a_n} \to 0\,.$
[/mm]
>
>
> d)
>
> Sei a > 0.
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel[n]{a} \to[/mm] 1
>
> (Aus Vorlesung) [mm]\bruch{1}{n^q} \to[/mm] 0 für q > 0
Dies ist zwar auch interessant, aber paßt hier nicht, da hier $1/n$ im Exponenten steht.
>
> [mm]b_n[/mm] = [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_n[/mm] = [mm]\varepsilon_n[/mm] * [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] ,
> [mm]\varepsilon_n[/mm] Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow b_n[/mm] Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 + [mm]b_n \to[/mm] 1
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel[n]{a}[/mm] = 1 + [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}})[/mm]
Hier mußt Du zeigen:
[mm] $\left( \root n \of a - 1\right)*\sqrt [/mm] n [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Bei keiner dieser Teilaufgaben ist es sinnvoll, eine Folge [mm] $b_n$ [/mm] einzuführen. Die Landaunotation ist nur eine -- nicht mal besonders hilfreiche -- Schreibweise für Grenzwertaussagen. Am einfachsten ist es daher, diese Schreibweise zunächst zu übersetzen, so wie ich das hier gemacht habe. Dies klappt immer, solange nur ein Landausymbol auftaucht und wird dann sehr schnell sehr einfach.
Grüße,
Wolfgang
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> > a)
>
> Nein. Das reicht nicht! Du mußt zeigen:
>
> [mm]a_n\in o(1/n)[/mm], also [mm]a_n*n \to 0\,.[/mm]
>
Ich habe das jetzt versucht so zu machen, aber ich hänge an einer Stelle fest.
Sei [mm] a_n [/mm] := [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{n}} [/mm] - 1 - [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
Zeige [mm] a_n \in o(\bruch{1}{n}) [/mm] , also n * [mm] a_n \to [/mm] 0
Beweis:
[mm] a_n [/mm] * n = n * [mm] \wurzel{1 + \bruch{1}{n}} [/mm] - n - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
= n * [mm] (\wurzel{1 + \bruch{1}{n}} [/mm] - 1) - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter, weil das in der Klammer gegen 0 konvergiert, aber n divergiert gegen +unendlich.
> > b)
> Nein! Du mußt zeigen, daß [mm]\bruch{3n^3 + 2n^2 - n + 1}{n^2 - 4n + 7} -3n[/mm]
> beschränkt ist.
>
Zeige [mm] b_n [/mm] := [mm] \bruch{3n^3 + 2n^2 - n +1}{n^2 - 4n +7} [/mm] - 3n = O(1), also [mm] b_n [/mm] beschränkt.
Beweis:
[mm] b_n
[/mm]
= [mm] \bruch{3n^3 + 2n^2 - n +1}{n^2 - 4n +7} [/mm] - [mm] \bruch{3n * (n^2 - 4n +7)}{n^2 - 4n +7}
[/mm]
= [mm] \bruch{14n^2 - 22n +1}{n^2 - 4n +7}
[/mm]
= [mm] \bruch{14 - \bruch{22}{n} + \bruch{1}{n^2}}{1 - \bruch{4}{n} + \bruch{7}{n^2}} \to [/mm] 14
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] beschränkt
[mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung
> > c)
>
> Nein. Du mußt zeigen:
>
> [mm]\frac{\frac 1 {1+a_n} - 1 + a_n} {a_n} \to 0\,.[/mm]
Wir hatten in der Vorlesung folgende Aussage:
Wenn [mm] a_n \not= [/mm] 0 für alle n, gehört [mm] (b_n) [/mm] zu [mm] o(a_n) [/mm] genau dann, wenn lim [mm] \bruch{b_n}{a_n} [/mm] = 0.
Woher wissen wir denn, dass bei uns [mm] a_n \not= [/mm] 0 für alle n ist?
Wir wissen doch nur, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
> > d)
> >
>
> Hier mußt Du zeigen:
> [mm]\left( \root n \of a - 1\right)*\sqrt n \to 0\,.[/mm]
Beweis:
Z.z. [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] = 1 + [mm] o(\bruch{1}{\wurzel{n}}, [/mm] also [mm] (\wurzel[n]{a} [/mm] - 1) * [mm] \wurzel{n} \to [/mm] 0
Ich habe das versucht durch abschätzen zu lösen, komme aber auch hier nicht weiter.
0 [mm] \le (\wurzel[n]{a} [/mm] - 1) * [mm] \wurzel{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] * [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n} \le \wurzel[n]{a} [/mm] * [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel[n]{n}
[/mm]
Also ich wollte versuchen eine größere Folge zu finden, die gegen 0 konvergiert. Dann weiß ich, dass die mittlere Folge auch gegen 0 konvergieren muss.
> Bei keiner dieser Teilaufgaben ist es sinnvoll, eine Folge
> [mm]b_n[/mm] einzuführen. Die Landaunotation ist nur eine -- nicht
> mal besonders hilfreiche -- Schreibweise für
> Grenzwertaussagen. Am einfachsten ist es daher, diese
> Schreibweise zunächst zu übersetzen, so wie ich das hier
> gemacht habe. Dies klappt immer, solange nur ein
> Landausymbol auftaucht und wird dann sehr schnell sehr
> einfach.
>
> Grüße,
> Wolfgang
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 So 02.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> > > a)
> >
> > Nein. Das reicht nicht! Du mußt zeigen:
> >
> > [mm]a_n\in o(1/n)[/mm], also [mm]a_n*n \to 0\,.[/mm]
> >
>
> Ich habe das jetzt versucht so zu machen, aber ich hänge
> an einer Stelle fest.
>
> Sei [mm]a_n[/mm] := [mm]\wurzel{1 + \bruch{1}{n}}[/mm] - 1 - [mm]\bruch{1}{2n}[/mm]
>
> Zeige [mm]a_n \in o(\bruch{1}{n})[/mm] , also n * [mm]a_n \to[/mm] 0
>
> Beweis:
>
> [mm]a_n[/mm] * n = n * [mm]\wurzel{1 + \bruch{1}{n}}[/mm] - n - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> = n * [mm](\wurzel{1 + \bruch{1}{n}}[/mm] - 1) - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht weiter, weil das in der Klammer gegen
> 0 konvergiert, aber n divergiert gegen +unendlich.
Ja, so geht das nicht. In solchen Fällen lohnt immer der Versuch, [mm] $a_n$ [/mm] als einen Bruch darzustellen, so auch hier.
[mm] $a_n=\frac {\sqrt {4n^2+4n} - (2n+1)} [/mm] {2 n}$
Jetzt kann man [mm] $a_n$ [/mm] nach unten und oben abschätzen:
Nach unten: Zeige: Die Wurzel ist größer als $2n+1$, also ist [mm] $a_n [/mm] > 0$.
Nach oben: Ersetze den Radikanden durch [mm] $(2n+2)^2\,.$
[/mm]
>
> > > b)
>
>
> > Nein! Du mußt zeigen, daß [mm]\bruch{3n^3 + 2n^2 - n + 1}{n^2 - 4n + 7} -3n[/mm]
> > beschränkt ist.
> >
>
> Zeige [mm]b_n[/mm] := [mm]\bruch{3n^3 + 2n^2 - n +1}{n^2 - 4n +7}[/mm] - 3n =
> O(1), also [mm]b_n[/mm] beschränkt.
>
> Beweis:
>
> [mm]b_n[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3n^3 + 2n^2 - n +1}{n^2 - 4n +7}[/mm] - [mm]\bruch{3n * (n^2 - 4n +7)}{n^2 - 4n +7}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{14n^2 - 22n +1}{n^2 - 4n +7}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{14 - \bruch{22}{n} + \bruch{1}{n^2}}{1 - \bruch{4}{n} + \bruch{7}{n^2}} \to[/mm]
> 14
>
> [mm]\Rightarrow b_n[/mm] beschränkt
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Behauptung
OK!
>
> > > c)
> >
> > Nein. Du mußt zeigen:
> >
> > [mm]\frac{\frac 1 {1+a_n} - 1 + a_n} {a_n} \to 0\,.[/mm]
>
> Wir hatten in der Vorlesung folgende Aussage:
>
> Wenn [mm]a_n \not=[/mm] 0 für alle n, gehört [mm](b_n)[/mm] zu [mm]o(a_n)[/mm] genau
> dann, wenn lim [mm]\bruch{b_n}{a_n}[/mm] = 0.
>
> Woher wissen wir denn, dass bei uns [mm]a_n \not=[/mm] 0 für alle n
> ist?
> Wir wissen doch nur, dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist.
>
>
Wir müssen annehmen, daß [mm] $a_n\ne [/mm] 0$ für fast alle n ist, da sonst [mm] $o(a_n)$ [/mm] sinnlos wäre.
>
>
> > > d)
> > >
> >
> > Hier mußt Du zeigen:
> > [mm]\left( \root n \of a - 1\right)*\sqrt n \to 0\,.[/mm]
>
> Beweis:
>
> Z.z. [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] = 1 + [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}},[/mm] also
> [mm](\wurzel[n]{a}[/mm] - 1) * [mm]\wurzel{n} \to[/mm] 0
>
> Ich habe das versucht durch abschätzen zu lösen, komme
> aber auch hier nicht weiter.
>
> 0 [mm]\le (\wurzel[n]{a}[/mm] - 1) * [mm]\wurzel{n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] *
> [mm]\wurzel{n}[/mm] - [mm]\wurzel{n} \le \wurzel[n]{a}[/mm] * [mm]\wurzel{n}[/mm] -
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm]
>
> Also ich wollte versuchen eine größere Folge zu finden,
> die gegen 0 konvergiert. Dann weiß ich, dass die mittlere
> Folge auch gegen 0 konvergieren muss.
Ja, das ist nicht so einfach. Ich habe mir hierzu mal den Beweis zu [mm] $\lim_{n\to\infty} \root [/mm] n [mm] \of [/mm] a=1$ angeschaut. Für $a [mm] \ge [/mm] 1$ wird dort mit Bernoulli
[mm] $\root [/mm] n [mm] \of [/mm] a - 1 < [mm] \frac [/mm] a n$
gezeigt. Für $0<a< 1$ betrachte die Folge mit $1/a$ statt [mm] $a\,.$
[/mm]
In jedem Fall bekommst Du eine Abschätzung, die Dich weiterbringt.
Gruß,
Wolfgang
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a)
> Ja, so geht das nicht. In solchen Fällen lohnt immer der
> Versuch, [mm]a_n[/mm] als einen Bruch darzustellen, so auch hier.
>
> [mm]a_n=\frac {\sqrt {4n^2+4n} - (2n+1)} {2 n}[/mm]
>
> Jetzt kann man [mm]a_n[/mm] nach unten und oben abschätzen:
>
> Nach unten: Zeige: Die Wurzel ist größer als [mm]2n+1[/mm], also
> ist [mm]a_n > 0[/mm].
>
> Nach oben: Ersetze den Radikanden durch [mm](2n+2)^2\,.[/mm]
Ich habe versucht, zu zeigen, dass die Wurzel größer als 2n + 1, komme aber immer auf den Widerspruch, dass 0 > 1 ist. Ich habe dann mal Zahlen für n eingesetzt und z.B. für n = 10 oder 100 ist die Wurzel kleiner als 2n + 1.
Man bekommt sogar einen negativen Wert.
c)
> > > Nein. Du mußt zeigen:
> > >
> > > [mm]\frac{\frac 1 {1+a_n} - 1 + a_n} {a_n} \to 0\,.[/mm]
> >
> > Wir hatten in der Vorlesung folgende Aussage:
> >
> > Wenn [mm]a_n \not=[/mm] 0 für alle n, gehört [mm](b_n)[/mm] zu [mm]o(a_n)[/mm]
> genau
> > dann, wenn lim [mm]\bruch{b_n}{a_n}[/mm] = 0.
> >
> > Woher wissen wir denn, dass bei uns [mm]a_n \not=[/mm] 0 für
> alle n
> > ist?
> > Wir wissen doch nur, dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist.
> >
> >
>
> Wir müssen annehmen, daß [mm]a_n\ne 0[/mm] für fast alle n ist,
> da sonst [mm]o(a_n)[/mm] sinnlos wäre.
Ja, aber selbst, wenn ich annehme, dass [mm] a_n \not= [/mm] für fast alle n ist, darf ich ja immer noch nicht die Aussage aus der Vorlesung anwenden, weil [mm] a_n \not= [/mm] 0 für alle n sein muss. Ist jetzt die Frage, ob ich annehmen darf, dass [mm] a_n \not= [/mm] 0 für alle n ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 So 02.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> a)
>
> > Ja, so geht das nicht. In solchen Fällen lohnt immer der
> > Versuch, [mm]a_n[/mm] als einen Bruch darzustellen, so auch hier.
> >
> > [mm]a_n=\frac {\sqrt {4n^2+4n} - (2n+1)} {2 n}[/mm]
> >
> > Jetzt kann man [mm]a_n[/mm] nach unten und oben abschätzen:
> >
> > Nach unten: Zeige: Die Wurzel ist größer als [mm]2n+1[/mm], also
> > ist [mm]a_n > 0[/mm].
> >
> > Nach oben: Ersetze den Radikanden durch [mm](2n+2)^2\,.[/mm]
>
> Ich habe versucht, zu zeigen, dass die Wurzel größer als
> 2n + 1, komme aber immer auf den Widerspruch, dass 0 > 1
> ist. Ich habe dann mal Zahlen für n eingesetzt und z.B.
> für n = 10 oder 100 ist die Wurzel kleiner als 2n + 1.
> Man bekommt sogar einen negativen Wert.
Ooops, da habe ich mich vertan. Die Wurzel ist tatsächlich kleiner und [mm] $a_n$ [/mm] damit kleiner 0.
Und mit [mm] $\sqrt{4n^2 + 4n} [/mm] > 2n$, ergibt sich:
$0 > [mm] a_n [/mm] > [mm] -\frac [/mm] 1 {2n} [mm] \to 0\,.$
[/mm]
>
>
> c)
>
> > > > Nein. Du mußt zeigen:
> > > >
> > > > [mm]\frac{\frac 1 {1+a_n} - 1 + a_n} {a_n} \to 0\,.[/mm]
> > >
>
> > > Wir hatten in der Vorlesung folgende Aussage:
> > >
> > > Wenn [mm]a_n \not=[/mm] 0 für alle n, gehört [mm](b_n)[/mm] zu
> [mm]o(a_n)[/mm]
> > genau
> > > dann, wenn lim [mm]\bruch{b_n}{a_n}[/mm] = 0.
> > >
> > > Woher wissen wir denn, dass bei uns [mm]a_n \not=[/mm] 0 für
> > alle n
> > > ist?
> > > Wir wissen doch nur, dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist.
> > >
> > >
> >
> > Wir müssen annehmen, daß [mm]a_n\ne 0[/mm] für fast alle n ist,
> > da sonst [mm]o(a_n)[/mm] sinnlos wäre.
>
> Ja, aber selbst, wenn ich annehme, dass [mm]a_n \not=[/mm] für fast
> alle n ist, darf ich ja immer noch nicht die Aussage aus
> der Vorlesung anwenden, weil [mm]a_n \not=[/mm] 0 für alle n sein
> muss. Ist jetzt die Frage, ob ich annehmen darf, dass [mm]a_n \not=[/mm]
> 0 für alle n ist?
Nein. Die Voraussetzung für den Satz aus der Vorlesung lautet tatsächlich [mm] $a_n\ne [/mm] 0$ für fast alle $n$. Grundsätzlich kommt es bei allen Grenzwertaussagen ja nur auf das Verhalten am "Ende der Folge" an, also auf Eigenschaften der [mm] $a_n$ [/mm] für fast alle $n$.
Hast Du die Definition von [mm] $o(a_n)$ [/mm] aus der Vorlesung zitiert? Demnach wäre [mm] $o(a_n)$ [/mm] nur definiert, wenn [mm] $a_n\ne [/mm] 0$ für alle [mm] $n\in \IN$. [/mm] In der Aufgabe taucht [mm] $o(a_n)$ [/mm] auf, das heißt, wir müssen annehmen, daß [mm] $o(a_n)$ [/mm] definiert ist, also alle [mm] $a_n\ne [/mm] 0$ sind.
Grüße,
Wolfgang
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> Nein. Die Voraussetzung für den Satz aus der Vorlesung
> lautet tatsächlich [mm]a_n\ne 0[/mm] für fast alle [mm]n[/mm].
> Grundsätzlich kommt es bei allen Grenzwertaussagen ja nur
> auf das Verhalten am "Ende der Folge" an, also auf
> Eigenschaften der [mm]a_n[/mm] für fast alle [mm]n[/mm].
>
> Hast Du die Definition von [mm]o(a_n)[/mm] aus der Vorlesung
> zitiert? Demnach wäre [mm]o(a_n)[/mm] nur definiert, wenn [mm]a_n\ne 0[/mm]
> für alle [mm]n\in \IN[/mm]. In der Aufgabe taucht [mm]o(a_n)[/mm] auf, das
> heißt, wir müssen annehmen, daß [mm]o(a_n)[/mm] definiert ist,
> also alle [mm]a_n\ne 0[/mm] sind.
>
> Grüße,
> Wolfgang
>
Wir hatten [mm] o(a_n) [/mm] wie folgt definiert:
[mm] o(a_n) [/mm] := [mm] \{(b_n) \in \IC^{\IN} | b_n = \varepsilon_n * a_n, wobei \varepsilon_n Nullfolge\}
[/mm]
Dann haben wir folgende Aussage gemacht:
Wenn [mm] a_n \not= [/mm] 0 für alle n, gehört [mm] b_n [/mm] zu [mm] o(a_n) [/mm] genau dann, wenn lim [mm] \bruch{b_n}{a_n} [/mm] = 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 02.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Nein. Die Voraussetzung für den Satz aus der Vorlesung
> > lautet tatsächlich [mm]a_n\ne 0[/mm] für fast alle [mm]n[/mm].
> > Grundsätzlich kommt es bei allen Grenzwertaussagen ja nur
> > auf das Verhalten am "Ende der Folge" an, also auf
> > Eigenschaften der [mm]a_n[/mm] für fast alle [mm]n[/mm].
> >
> > Hast Du die Definition von [mm]o(a_n)[/mm] aus der Vorlesung
> > zitiert? Demnach wäre [mm]o(a_n)[/mm] nur definiert, wenn [mm]a_n\ne 0[/mm]
> > für alle [mm]n\in \IN[/mm]. In der Aufgabe taucht [mm]o(a_n)[/mm] auf, das
> > heißt, wir müssen annehmen, daß [mm]o(a_n)[/mm] definiert ist,
> > also alle [mm]a_n\ne 0[/mm] sind.
> >
> > Grüße,
> > Wolfgang
> >
>
> Wir hatten [mm]o(a_n)[/mm] wie folgt definiert:
>
> [mm]o(a_n)[/mm] := [mm]\{(b_n) \in \IC^{\IN} | b_n = \varepsilon_n * a_n, wobei \varepsilon_n Nullfolge\}[/mm]
>
> Dann haben wir folgende Aussage gemacht:
>
> Wenn [mm]a_n \not=[/mm] 0 für alle n, gehört [mm]b_n[/mm] zu [mm]o(a_n)[/mm] genau
> dann, wenn lim [mm]\bruch{b_n}{a_n}[/mm] = 0
Ja, dann kannst Du den Satz tatsächlich nicht verwenden.
Auch hier hilft wieder, das Ganze auf einen Nenner bringen:
[mm] $b_n =\frac [/mm] 1 [mm] {1+a_n} [/mm] + [mm] a_n [/mm] - 1 = [mm] \frac {a_n^2} {1+a_n} [/mm] = [mm] a_n [/mm] * [mm] \frac {a_n} {1+a_n} [/mm] = [mm] a_n [/mm] * [mm] \epsilon_n$ [/mm] für
[mm] $\epsilon_n [/mm] = [mm] \frac {a_n} {1+a_n} \to [/mm] 0$ wegen [mm] $a_n\to [/mm] 0$.
Grüße,
Wolfgang
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Danke für deine Hilfe, aber ich habs nicht mehr geschafft. Werde wohl zur Übung gehen und mir mal die Lösungen dann angucken.
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> Zeigen Sie, dass in der Notation der Landau Symbole gilt:
> d) [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] = 1 + [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}}) \forall[/mm] a > 0
Hallo,
ich habe mich nochmal an die Aufgabe rangesetzt, und habe folgendes rausbekommen:
Z.z. [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] = 1 + [mm] o(\bruch{1}{\wurzel{n}}) \forall [/mm] a > 0
Äquivalent dazu, können wir auch zeigen, dass [mm] b_n [/mm] := [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] - 1 = [mm] o(\bruch{1}{\wurzel{n}}) \forall [/mm] a > 0
Beweis:
Sei a > 1. [mm] \Rightarrow b_n [/mm] > 0
[mm] \wurzel[n]{a} [/mm] = [mm] b_n [/mm] + 1
[mm] \Rightarrow [/mm] a = [mm] (b_n [/mm] + [mm] 1)^n \ge [/mm] 1 + n * [mm] b_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 < [mm] b_n \le \bruch{a-1}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] = [mm] O(\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_n [/mm] = [mm] o(\bruch{1}{\wurzel{n}})
[/mm]
Ich habe nur den Fall für a > 1 gezeigt. Wie zeige ich den Fall für 0 < a < 1 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Zeigen Sie, dass in der Notation der Landau Symbole gilt:
> > d) [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] = 1 + [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}}) \forall[/mm]
> a > 0
>
> Hallo,
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> ich habe mich nochmal an die Aufgabe rangesetzt, und habe
> folgendes rausbekommen:
>
> Z.z. [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] = 1 + [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}}) \forall[/mm]
> a > 0
>
> Äquivalent dazu, können wir auch zeigen, dass [mm]b_n[/mm] :=
> [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] - 1 = [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}}) \forall[/mm] a > 0
>
> Beweis:
>
> Sei a > 1. [mm]\Rightarrow b_n[/mm] > 0
>
> [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] = [mm]b_n[/mm] + 1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = [mm](b_n[/mm] + [mm]1)^n \ge[/mm] 1 + n * [mm]b_n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 < [mm]b_n \le \bruch{a-1}{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_n[/mm] = [mm]O(\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_n[/mm] = [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}})[/mm]
>
> Ich habe nur den Fall für a > 1 gezeigt. Wie zeige ich den
> Fall für 0 < a < 1 ?
Hallo,
Dann ist $1/a > 1$ und mit dem schon Gezeigtem folgt
[mm] $b_n \le \frac {\frac 1 a -1} [/mm] n = [mm] \frac [/mm] 1 n * [mm] \frac [/mm] {1-a} [mm] a\;.$ [/mm] Weiter wie oben.
Gruß,
Wolfgang
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Das verstehe ich aber nicht, denn dann müsste [mm] b_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{a}} [/mm] - 1 sein, aber wir wollen ja zeigen, dass [mm] b_n [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] - 1 = [mm] o(\bruch{1}{\wurzel{n}}) [/mm] für 0 < a < 1 ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Das verstehe ich aber nicht, denn dann müsste [mm]b_n[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{a}}[/mm] - 1 sein, aber wir wollen ja
> zeigen, dass [mm]b_n[/mm] = [mm]\wurzel{a}[/mm] - 1 =
> [mm]o(\bruch{1}{\wurzel{n}})[/mm] für 0 < a < 1 ist.
Ja, das war wohl ein bißchen zu schnell (und schlampig)!
Hier mein nächster Versuch, diesmal hoffentlich besser begründet:
Wir wissen
[mm] $\left( \frac 1 {\root n \of a} - 1\right)* \sqrt [/mm] n [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Also auch:
[mm] $\frac [/mm] 1 [mm] {\root n \of a}*\left(1-\root n \of a\right)*\sqrt [/mm] n [mm] \to [/mm] 0$
Wegen [mm] $\frac [/mm] 1 [mm] {\root n \of a} \to [/mm] 1$ folgt nun [mm] $\left(1-\root n \of a\right)*\sqrt [/mm] n [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Überzeugt?
Gruß,
Wolfgang
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Ok, das habe ich jetzt verstanden.
Danke für deine Hilfe Wolfgang. :)
Grüsse
Alexander
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