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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 So 05.05.2013 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Für welche n [mm] \in \IN [/mm] gilt
(a) cos(x) - 1 = [mm] o(x^{n}) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0,
(b) [mm] \wurzel{\bruch{x}{x^{2}+1}} [/mm] = [mm] O(x^{n}) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 |
Hallo zusammen.
Ich habe dies Frage noch in keinem Forum gestellt.
Ich weiß hier nicht weiter. Bei (a) ist es doch so, dass ich den [mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] von f(x)/g(x) bilden muss? Und das kleine o sagt mir, dass dabei 0 rauskommen muss. Bei dem Limes kommt aber 0/0 raus, sodass ich l'Hospital anwende. Dabei bleibt der untere Teil jedoch null. Wenn ich l'Hospital immer wieder anwende, kommt am Ende dann n! raus. Aber woher weiß ich ob oben dann sin oder cos rauskommt und welche Rolle spielt n dabei?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 So 05.05.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zur a): Nimm doch z.B. mal n=1.
L'Hospital liefert doch dann [mm] \frac{-sin(x)}{1} \rightarrow [/mm] 0. Für n=3 erhältst du nach dreimaligem Ableiten auch [mm] \frac{sin(x)}{3!} \rightarrow [/mm] 0.
Edit: Sorry, war natürlich falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 So 05.05.2013 | | Autor: | Arthaire |
Danke, also bei allen ungeraden n.
Und bei der (b)? Wenn ich n= 1/2 einsetze, dann bleibt [mm] \wurzel{\bruch{1}{x^{2}+1}} [/mm] stehen und davon der Grenzwert ist dann 1. Für alle weiteren n klappt das dann aber nicht, oder? Wenn n auch negativ sein dürfte, sähe das anders aus. So aber bekomme ich für größer werdende n im Nenner immer 0 für den Grenzwert und somit ist n = 1/2 die einzige Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke, also bei allen ungeraden n.
nein ! Nur für n=1.
>
> Und bei der (b)? Wenn ich n= 1/2 einsetze, dann bleibt
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{x^{2}+1}}[/mm] stehen und davon der Grenzwert
> ist dann 1. Für alle weiteren n klappt das dann aber
> nicht, oder? Wenn n auch negativ sein dürfte, sähe das
> anders aus. So aber bekomme ich für größer werdende n im
> Nenner immer 0 für den Grenzwert und somit ist n = 1/2 die
> einzige Lösung?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Arthaire |
Danke für die Bestätigung zur (b), aber warum ist bei der (a) nur n=1 die Lösung. Bei n=3 wird der Zhäler zu -sin und der Grenzwert gegen 0 somit zur 0. Für n=5 wird der Zähler sin und der Grenzwert gegen 0 ebenfalls 0 usw.
Oder habe ich da einen Denkfehler drin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Bestätigung zur (b), aber warum ist bei der
> (a) nur n=1 die Lösung. Bei n=3 wird der Zhäler zu -sin
> und der Grenzwert gegen 0 somit zur 0.
Stimmt nicht.
> Für n=5 wird der
> Zähler sin und der Grenzwert gegen 0 ebenfalls 0 usw.
Stimmt nicht.
> Oder habe ich da einen Denkfehler drin?
Teil mir Deine Gedanken mit. Dann kann ich Dir sagen, welchen Fehler Du machst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Arthaire |
z.B. bei n=3: [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{cos(x)-1}{x^{3}}
[/mm]
Da die Grenzwerte 0/0 ergeben, wende ich l'Hospital an: [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{-sin(x)}{3x^{2}}. [/mm] Der Grenzwert ergibt wieder 0/0! Wende ich nun.... okay, beim nächsten l'Hospital steht oben dann cos allein und somit ist der Grenzwert im Zähler 1 und im Nenner 0. Das heißt dann einfach, dass es keinen Grenzwert gibt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mo 06.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> z.B. bei n=3: [mm]\limes_{n\rightarrow\0} \bruch{cos(x)-1}{x^{3}}[/mm]
>
> Da die Grenzwerte 0/0 ergeben, wende ich l'Hospital an:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0} \bruch{-sin(x)}{3x^{2}}.[/mm] Der
> Grenzwert ergibt wieder 0/0! Wende ich nun.... okay, beim
> nächsten l'Hospital steht oben dann cos allein und somit
> ist der Grenzwert im Zähler 1 und im Nenner 0. Das heißt
> dann einfach, dass es keinen Grenzwert gibt, oder?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Arthaire |
Danke für die Hilfe
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