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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Fr 14.10.2011 | | Autor: | Jensy |
| Aufgabe | | Schreiben Sie folgende Ausdrücke in der Form f(h) = [mm] O(h^\alpha ) [/mm] bzw. f(h) = [mm] o(h^\beta) [/mm] für h [mm] \to [/mm] 0 mit möglichst großen [mm] ,\alpha \beta [/mm] [mm] \in \IR. [/mm] |
Hallo,
In Numerik 1 hatten wir heute die Landauschen Symbole zu quantitativen Beschreibungen von Grenzprozessen durchgenommen und ich habe da generell Verständnisschwierigkeiten was genau die Landausymbole sind und was ich generell machen soll.
Ich habe mich schon etwas eingelesen und weiss das
f(h) <= [mm] O(h^\alpha ) [/mm] f nicht so schnell gegen 0 geht wie [mm] O(h^\alpha)
[/mm]
f(h) >= [mm] o(h^\beta ) [/mm] f schneller gegen 0 geht all [mm] o(h^\beta)
[/mm]
Trotzdem hilft es mir recht wenig für die bearbeitung der Übungsaufgaben.
zB habe ich [mm] f(h)=5(h^2+h^2)+3h^3 [/mm] gegeben.
Ich vermute, dass [mm] f(h)<=O(h^2)
[/mm]
und [mm] f(h)>=o(h^3) [/mm] ist.
und wie gehe ich bei Funktionen vor bei denen man nicht auf anhieb weiss wie sie sich verhalten wie zB bei f(h) = (ln h)^-1
Danke schonmal im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
was sollen "=>" und "<=" für Symbole darstellen?
Allgemein gilt,
[mm] $f(h)\in [/mm] O(g(h))$, auch geschrieben $f(h)=O(g(h))$, falls [mm] $\left| \frac{f(h)}{g(h)}\right|\underset{h\to 0}{\longrightarrow} [/mm] C$, für eine beliebige Konstante C (eigentlich: [mm] $\limsup_{h\to 0}\left| \frac{f(h)}{g(h)}\right|$, [/mm] ist aber nur bei oszillierenden Funktionen relevant.)
f(h) ist, bis auf eine Konstante, asymptotisch äquivalent zu g(h).
[mm] $f(h)\in [/mm] o(g(h))$, auch geschrieben $f(h)=o(g(h))$, falls [mm] $\left| \frac{f(h)}{g(h)}\right|\underset{h\to 0}{\longrightarrow} [/mm] 0$
f(h) ist asymptotisch vernachlässigbar im Vergleich zu g(h).
> $ [mm] f(h)=5(h^2+h^2)+3h^3 [/mm] = [mm] 10h^2 [/mm] + [mm] 3h^3=h^2(10+3h)$
[/mm]
[mm] $\left| \frac{f(h)}{h^\gamma}\right| [/mm] = [mm] h^{2-\gamma}(10+3h)\longrightarrow \begin{cases}0, &\text{for}\ \gamma<2\\ 10,&\text{for}\ \gamma=2\\ \infty,&\text{for}\ \gamma>2\end{cases}$
[/mm]
Also ist [mm] $f(h)\in O(h^2)$ [/mm] und [mm] $f(h)\in o(h^\gamma)$ [/mm] für alle [mm] $\gamma<2$. [/mm] Damit wäre auch [mm] $f(h)>o(h^2)$, [/mm] in dem Sinne, daß f jedes [mm] $y(h)\in o(h^2)$ [/mm] asymptotisch dominiert.
> f(h) = (ln h)^-1
$ [mm] \frac{f(h)}{h^\gamma} [/mm] = [mm] \frac{\,\frac 1{\ln(h)}\,}{h^\gamma}=\frac1{h^\gamma\ln(h)}$
[/mm]
Wie sieht hier der Grenzwert aus?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Sa 15.10.2011 | | Autor: | Jensy |
Ich habe mir ln(h)^-1 hergeleitet als e(h), ist das falsch?
[mm] 1/(h^\gammaln(h)), [/mm] für [mm] \gamma [/mm] = 1 geht die Funktion gegen [mm] \infty
[/mm]
[mm] 1/(h^\gammaln(h)), [/mm] für [mm] \gamma [/mm] < 1 geht die FUnktion auch gegen [mm] \infty
[/mm]
[mm] 1/(h^\gammaln(h)), [/mm] für [mm] \gamma [/mm] > 1 geht die Funktion gegen 0 (*)
Bin da aber ziemlich skeptisch bei (*)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Sa 15.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe mir ln(h)^-1 hergeleitet als e(h), ist das
> falsch?
Mit ln(h)^-1 ist doch sicher [mm] \bruch{1}{ln(h)} [/mm] gemeint !!
FRED
>
>
> [mm]1/(h^\gammaln(h)),[/mm] für [mm]\gamma[/mm] = 1 geht die Funktion gegen
> [mm]\infty[/mm]
> [mm]1/(h^\gammaln(h)),[/mm] für [mm]\gamma[/mm] < 1 geht die FUnktion auch
> gegen [mm]\infty[/mm]
> [mm]1/(h^\gammaln(h)),[/mm] für [mm]\gamma[/mm] > 1 geht die Funktion gegen
> 0 (*)
>
>
> Bin da aber ziemlich skeptisch bei (*)
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