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| Aufgabe | Für beschränktes [mm] $\Omega \in \IR^n$ [/mm] sei $u : [mm] \Omega \cup \partial \Omega \to \IR$ [/mm] auf einer Umgebung von [mm] \Omega [/mm] zweimal stetig differenzierbar mit [mm] $u\not= [/mm] 0$ (soll eig. nicht konstant heißen, aber dafür kenn ich den Befehl nicht), $u [mm] \equiv [/mm] 0$ auf [mm] $\partial \Omega$ [/mm] und [mm] $\Delta [/mm] ~ u = [mm] -\lambda [/mm] u$ für ein [mm] $\lambda \in \IR$. [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\lambda [/mm] > 0$ gilt. |
Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe weiß ich iwie nicht weiter.
Wäre ein glatter Rand gegeben, dann könnte ich wenigstens die äußere Normale angeben und mit dem Satz von Stokes rum probieren.
Meine bisherigen Versuche waren:
Nach Satz von Green gilt ja [mm] $\integral_{\Omega}^{}{f*\Delta g - g * \Delta f dx} [/mm] = [mm] \integral_{\partial \Omega}^{}{ f *<\nabla g, \nu > - g* <\nabla f, \nu >dS}$ [/mm] und damit für $f [mm] \equiv [/mm] 1,~ g=u$:
[mm] \integral_{\Omega}^{}{ \Delta u ~ dx} [/mm] = [mm] \integral_{\partial \Omega}^{}{<\nabla u, \nu> dS}. [/mm]
Jetzt kann ich die letzte Bed. einsetzten und komme auf:
[mm] \integral_{\Omega}^{}{ \Delta u ~ dx} [/mm] = [mm] \integral_{\partial \Omega}^{}{<\nabla u, \nu> dS} \overbrace{=}^{!} \integral_{\Omega}^{}{ -\lambda u ~ dx}.
[/mm]
Weiterhin weiß ich ja, dass $u$ alleine von [mm] $\Omega$ [/mm] getragen wird. Aber dafür finde ich noch keine Anwendung.
Ist denn dieser Weg erfolgsversprechend, oder soll ich den verwerfen.
Wie kann ich denn weitermachen/neuanfangen?
Vielen Dank im Voraus!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 So 13.12.2009 | | Autor: | glenn |
Ich bin ebenfalls sehr an einer Lösung dieser Aufgabe interessiert. Jedoch habe ich auch keine kreativen Lösungsgedanken parat.
Viele Grüße
Glenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 So 13.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kai!
> Für beschränktes [mm]\Omega \in \IR^n[/mm] sei [mm]u : \Omega \cup \partial \Omega \to \IR[/mm]
> auf einer Umgebung von [mm]\Omega[/mm] zweimal stetig
> differenzierbar mit [mm]u\not= 0[/mm] (soll eig. nicht konstant
> heißen, aber dafür kenn ich den Befehl nicht), [mm]u \equiv 0[/mm]
> auf [mm]\partial \Omega[/mm] und [mm]\Delta ~ u = -\lambda u[/mm] für ein
> [mm]\lambda \in \IR[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]\lambda > 0[/mm] gilt.
> Hallo zusammen,
>
> bei dieser Aufgabe weiß ich iwie nicht weiter.
>
> Wäre ein glatter Rand gegeben, dann könnte ich wenigstens
> die äußere Normale angeben und mit dem Satz von Stokes
> rum probieren.
>
> Meine bisherigen Versuche waren:
>
> Nach Satz von Green gilt ja [mm]\integral_{\Omega}^{}{f*\Delta g + g * \Delta f dx} = \integral_{\partial \Omega}^{}{ f *<\nabla g, \nu > - g* <\nabla f, \nu >dS}[/mm]
Das Pluszeichen im 1. Integral muss ein Minus sein.
> Weiterhin weiß ich ja, dass [mm]u[/mm] alleine von [mm]\Omega[/mm] getragen
> wird. Aber dafür finde ich noch keine Anwendung.
>
> Ist denn dieser Weg erfolgsversprechend, oder soll ich den
> verwerfen.
>
> Wie kann ich denn weitermachen/neuanfangen?
Probier doch mal die erste statt der zweiten Greenschen Formel! Da kannst du die Funktionen so wählen, dass eines der Integrale wegen [mm]u \equiv 0[/mm] auf [mm]\partial \Omega[/mm] verschwindet.
Viele Grüße
Rainer
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Wir hatten nur diese Form der Greenschen Formel, außerdem den Satz von Stokes und den Satz von Gauß.
Kann ich auch mit einen dieser Sätze das zeigen?
Ich weiß, dass [mm] $0=\integral_{\partial \Omega}{u ~ dS}=\integral_{\Omega}{<\nabla u, \nu> ~ dx}$, [/mm] aber nicht wie ich damit auf [mm] $\Delta [/mm] u$ kommen soll.
Ich könnte beide Seiten nochmal in Richtung [mm] $\nu$ [/mm] ableiten, aber dann hab ich (denk ich) soetwas wie: ausgehend vom Satz von Green wie ich ihn bez. hatte (diesmal mit dem Minus):
[mm] $\integral_{\Omega}{\partial_{\nu} f <\nabla g, \nu> - \partial_{\nu} g <\nabla f, \nu> ~ dx}=\integral_{\partial \Omega}{f \Delta g - g \Delta f dS}$
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] $f\equiv [/mm] 1$ und $g=u$ wähle komme ich auf gar nix hilfreiches...
Wenn ich in der Notation wie sie bei Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Greensche_Formeln) steht bei der ersten Greenschen Identität [mm] $\Phi \equiv [/mm] 1$ setze und [mm] $\Psi [/mm] = u$ komme ich auf das was ich schon habe mir aber nichts nützt.
Ich weiß nicht so recht wie das [mm] $\nu$ [/mm] verwerten soll.
Ich bin ein wenig verzweifelt...
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 13.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kai!
> Wenn ich in der Notation wie sie bei Wikipedia
> (![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Greensche_Formeln) steht bei
> der ersten Greenschen Identität [mm]\Phi \equiv 1[/mm] setze und
> [mm]\Psi = u[/mm] komme ich auf das was ich schon habe mir aber
> nichts nützt.
Dann setze doch mal beide $=u$!
Viele Grüße
Rainer
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Erstmal: Danke für die Mühe!
Wenn ich [mm] $\Phi [/mm] = [mm] \Psi [/mm] = u$ setze hab ich:
[mm] \integral_{\Omega}{u* \Delta u + \Delta u ~ dx} [/mm] = [mm] \integral_{\partial \Omega}{u * <\nabla u, \nu> ~ dS}$
[/mm]
Da weiß ich beim bessten Willen nicht wie mir das weiterhelfen soll. Wie soll ich da nutzen können, dass u auf [mm] $\partial \Omega$ [/mm] verschwindet?
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 Mo 14.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Erstmal: Danke für die Mühe!
>
> Wenn ich [mm]\Phi = \Psi = u[/mm] setze hab ich:
>
> [mm]\integral_{\Omega}{u* \Delta u + \Delta u ~ dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{\partial \Omega}{u * <\nabla u, \nu> ~ dS}$[/mm]
Nein, links steht [mm]\integral_{\Omega}{u* \Delta u + (\nabla u)^2 ~ dx}[/mm].
> Da weiß ich beim bessten Willen nicht wie mir das
> weiterhelfen soll. Wie soll ich da nutzen können, dass u
> auf [mm]\partial \Omega[/mm] verschwindet?
Damit ist der Integrand auf der rechten Seite im gesamten Integrationsbereich 0.
Viele Grüße
Rainer
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