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Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Sa 22.03.2014
Autor: Himalia

Aufgabe
Bestimmen Sie mit Hilfe der Definition der Laplace-Transformation die Bildfunktionen der
folgenden Originalfunktionen:

f(t)=sinh(at)  

Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Korrespondenztafel.

Hi,
brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe.

habe diese Aufgabe schon hier gestellt aber bis jetzt noch keine Antwort erhalten:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=538453


Idee:

[mm] sinh(at)=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2} [/mm]  

  [mm] \int_0^\infty \! f(t)*e^{-st} \, [/mm] dt  

[mm] =\int_0^\infty \! sinh(at)*e^{-st} \, [/mm] dt  

[mm] =\int_0^\infty \! \frac{e^{at}-e^{-at}}{2} *e^{-st} \, [/mm] dt  

  [mm] =\frac{1}{2} \int_0^\infty \! (e^{at}-e^{-at}) *e^{-st} \, [/mm] dt  

[mm] =\frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at}*e^{-st}-e^{-at} *e^{-st} \, [/mm] dt  

=  [mm] \frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at}*e^{-st}\, [/mm] dt [mm] -\frac{1}{2} \int_0^\infty \!e^{-at} *e^{-st} \, [/mm] dt  

= [mm] \frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at-st}\, [/mm] dt [mm] -\frac{1}{2} \int_0^\infty \!e^{-at-st} \, [/mm] dt  

[mm] =\left[\frac{1}{2*(a-s)}*e^{at-st} \right]_0^\infty [/mm] + [mm] \left[-\frac{1}{2*(-a-s)}*e^{-at-st} \right]_0^\infty [/mm]    

[mm] =\left[\frac{1}{2*(a-s)}*e^{at-st} \right]_0^\infty [/mm] + [mm] \left[(0)-(-\frac{1}{2*(-a-s)}) \right] [/mm]    

Beim linken Teil weiß ich nicht was bei unendlich passiert :(
Da ich nicht weiß ob die Konstante a oder s größer ist.


        
Bezug
Laplace-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Sa 22.03.2014
Autor: Valerie20


> Bestimmen Sie mit Hilfe der Definition der
> Laplace-Transformation die Bildfunktionen der
> folgenden Originalfunktionen:

>

> f(t)=sinh(at)

>

> Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Korrespondenztafel.
> Hi,
> brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe.

>

> habe diese Aufgabe schon hier gestellt aber bis jetzt noch
> keine Antwort erhalten:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=538453

>
>

> Idee:

>

> [mm]sinh(at)=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}[/mm]

>

> [mm]\int_0^\infty \! f(t)*e^{-st} \,[/mm] dt

>

> [mm]=\int_0^\infty \! sinh(at)*e^{-st} \,[/mm] dt

>

> [mm]=\int_0^\infty \! \frac{e^{at}-e^{-at}}{2} *e^{-st} \,[/mm] dt

>
>

> [mm]=\frac{1}{2} \int_0^\infty \! (e^{at}-e^{-at}) *e^{-st} \,[/mm]
> dt

>

> [mm]=\frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at}*e^{-st}-e^{-at} *e^{-st} \,[/mm]
> dt

>

> = [mm]\frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at}*e^{-st}\,[/mm] dt
> [mm]-\frac{1}{2} \int_0^\infty \!e^{-at} *e^{-st} \,[/mm] dt

>

> = [mm]\frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at-st}\,[/mm] dt [mm]-\frac{1}{2} \int_0^\infty \!e^{-at-st} \,[/mm]
> dt

>

> [mm]=\left[\frac{1}{2*(a-s)}*e^{at-st} \right]_0^\infty[/mm] +
> [mm]\left[-\frac{1}{2*(-a-s)}*e^{-at-st} \right]_0^\infty[/mm]

>

> [mm]=\left[\frac{1}{2*(a-s)}*e^{at-st} \right]_0^\infty[/mm] +
> [mm]\left[(0)-(-\frac{1}{2*(-a-s)}) \right][/mm]

>

> Beim linken Teil weiß ich nicht was bei unendlich passiert
> :(
> Da ich nicht weiß ob die Konstante a oder s größer
> ist.

>

Es reicht dort zu schreiben, dass die Laplace Trafo nur konvergiert, wenn $s>|a|$ ist.
Andernfalls divergiert diese.

Du hast bisher also alles richtig gemacht.
Bringe nun noch alles auf einen Hauptnenner.
Du solltest dabei die binomischen Formeln beachten. Speziell die dritte.
 

Bezug
                
Bezug
Laplace-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 Sa 22.03.2014
Autor: Himalia

Könnte man das auch so schreiben?
-->  s> a >0



Rechnung:
--> für s>|a|

[mm] \left[(0)-(\frac{1}{2*(a-s)}) \right] [/mm] + [mm] \left[(0)-(-\frac{1}{2*(-a-s)}) \right] [/mm]

[mm] =-\frac{1}{2*(a-s)}+ \frac{1}{2*(-a-s)} [/mm]

= [mm] \frac{a}{s^2-a^2} [/mm]

So ?





Bezug
                        
Bezug
Laplace-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:11 So 23.03.2014
Autor: Valerie20

[ok]

Aber stelle deine Fragen doch in Zukunft auch als Frage... Also benutze den roten Button für Rückfragen.
Ansonsten kann es passieren dass deine Fragen untergehen.

Bezug
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