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Forum "Physik" - Laplace-Transformation
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Laplace-Transformation: Aufgabe 1 Ideen und Tipps
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 So 08.02.2015
Autor: LamLayYong

Aufgabe
Der im Bild dargestellte Federschwinger(Masse $m$, Federsteifigkeit $ k $ ) erregt durch eine Kraft $ [mm] f_{(t)} [/mm] $ und wird durch eien geschwindigkeitsproportionale  Flüssigkeitsreibung(Dämpfungskonstante $ d $) gedämpft

Die Auslenkung $ [mm] x_{(t)} [/mm] $ genügt einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung(Schwingungsgleichung) mit konstanten Koeffizienten

$ m x''_{(t)} +  d x'_{(t)} + k  [mm] x_{(t)} [/mm] =  [mm] f_{(t)} [/mm] $

Gesucht ist die Auslenkung des Federschwingers für $ t [mm] \geq [/mm] 0 $, die Masse m=1 kg, die Dämpfungskonstante $ d= 2\ kg/s $ , die Federkonstante $ k= 1\ N/m $ und Erregerkraft
  $ [mm] f_{(t)} [/mm] = [mm] \sigma_{(t)} \cdot \exp^{-t} \cdot [/mm] sin(t)$, wenn im Zeitpunkt $ t=0 s $ die Anfangsauslenkung $ [mm] x_{(0)}=0 [/mm]  $ war und das System in Ruhe war.

[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Aufgabe soll mithilfe der Laplace-Transformation nach t gelöst werden.

ICh weiß nicht wie ich Anfangen soll




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Laplace-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:03 So 08.02.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo LamLayLong,

du hast angegeben, du seist der Urheber des Bilds. Es sieht aber eher so aus, als hättest du eine Buchseite abfotografiert.
Was stimmt denn nun?

Gruß,
Gono

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Bezug
Laplace-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:32 So 08.02.2015
Autor: chrisno

Ich glaube Dir nicht, dass Du diese Zeichnung selbst erstellt hast. Wenn es doch so ist, bitte ich Dich, etwas ausfürhlicher zu beschreiben, wie Du sie erstellt hast.

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Bezug
Laplace-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 So 08.02.2015
Autor: LamLayYong

tut mir Leid hab die Falsche Datei hochgeladen :(

Ich wollte die abgezeichnte Skizze hochladen

Bezug
                
Bezug
Laplace-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 So 08.02.2015
Autor: chrisno

Das kannst Du nachholen, ich denke aber, dass es für die Lösung des Problems gar nicht so wichtig ist.

Bezug
        
Bezug
Laplace-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Mo 09.02.2015
Autor: Kroni

Hallo,

das schöne an der Laplace-Transformaotion ist, dass man eine lineare DGL algebraisch lösen kann. Gleichzeitig kann man auch noch Randbedingungen einbauen.

Du kannst z.B. als ersten Schritt Deine DGL

[mm] $m\ddot{x}+d\dot{x}+kx=f(t)$ [/mm]

Laplace-Transformieren. Dabei gilt ja [je nach Definition]

[mm] $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t$ [/mm]

wobei $f(t)$ die Funktion ist, die Du Laplace-Transformieren möchtest.

Nun kannst Du, weil die Laplace-Transformation linear ist, deine ursprüngliche Gleichung Laplace-Transformieren. Dabei gilt z.B. [ich hoffe, das ist Dir bekannt], dass die Laplace-Transformierte einer Ableitung $f'(t)$ 

$sF(s)-f(0)$ ist, wobei $F(s)$ die oben definierte Laplace-Transformierte von $f(t)$ ist. 

Das kannst Du jetzt für die gesamte DGL

[mm] $m\ddot{x}+d\dot{x}+kx=f(t)$ [/mm]

machen. Das gibt dann am Ende eine Gleichung für $x(s)$, d.h. Du kannst nach der Laplace-Transformierten von $x(t)$ auflösen. 
Wenn Du nun $x(s)$ kennst, kannst Du die inverse Laplace-Transformation auf $x(s)$ anwenden, um $x(t)$ zu erhalten.

Ich hoffe, dieses kurze Rezept hilft Dir erst einmal weiter.

LG

Kroni

 

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Bezug
Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 Mo 09.02.2015
Autor: LamLayYong

Wie kann ich denn [mm] \sigma(t) [/mm] transformieren...

[mm] \integral_{a}^{b}{\sigma(t) \* e^{-t} \* sin(t) dx} [/mm]

mir wurden auch keine Grenzen vorgegeben.> Hallo,



Bezug
                        
Bezug
Laplace-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Di 10.02.2015
Autor: Kroni

Hallo, 

wie ist denn [mm] $\sigma(t)$ [/mm] definiert? Ist es irgendwo in der Aufgabenstellung definiert?

Mit der aktuellen Information kann ich leider nur Vermutungen anstellen. 
Ich vermute, dass [mm] $\sigma(t)=1$ [/mm] für [mm] $t\ge [/mm] 0$ und $0$ sonst. 
Das sorgt dafür, dass das System erst ab $t=0$ getrieben wird. Gleichzeitig sorgt es dafür, dass die treibende Kraft nicht explodiert für $t<0$. 

Das Laplace-Integral lässt sich dann mE mach am einfachsten ausrechnen, indem man den [mm] $\sin$ [/mm] als Exponential-Fkt. schreibt. 

LG

Kroni

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Bezug
Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Di 10.02.2015
Autor: LamLayYong

Hallo,

also im Text steht, dass die Auslenkung des Federschwingers für t [mm] \ge [/mm] 0 ist und dass im Zeitpunkt t=0 s die Anfangsauslenkung x(0)=0 war und das Szstem in Ruhe war.

Laut dem Text müsste deine Vermutung doch wahr sein?
Und außerdem müsste auch x'(0)=0 sein, da ja das System in Ruhe ist, oder?



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Bezug
Laplace-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Mi 11.02.2015
Autor: Kroni

Hallo,

deine Infos lassen zwar nicht ganz eindeutig den Schluss [mm] $\sigma(t)=0$ [/mm] für $t<0$ zu - aber so würde es Sinn machen, denn wenn das System vor $t=0$ nicht 'getrieben' wird, ist es ja recht wahrscheinlich in Ruhe.

Mit den Infos kannst Du dann davon ausgehen, dass $x(0)=0$ und [mm] $\dot{x}(0)=0$, [/mm] weil der Oszillator in Ruhe war, korrekt.

Mit diesen Informationen kannst Du jetzt mE nach die DGL Laplace-Transformieren und nach $x(s)$ auflösen. Das dann "zurücktransformiert" ergibt dann $x(t)$. 
Wenn Du dir unsicher sein solltest, ob Deine Lösung korrekt ist, kannst Du auch einfach $x(t)$ in die DGL einsetzen und überprüfen, dass $x(t)$ eine Lösung der DGL ist mit den entsprechenden Anfangsbedinungen.

LG

Kroni

Bezug
                                                
Bezug
Laplace-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:21 Mi 11.02.2015
Autor: LamLayYong

Hallo,

ok...ich Dank Dir sehr...
ich probiere mich dann an die Aufgabe mal; wenn ich Fragen haben sollte schreibe ich dann nochmals.

LG

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