Laplace-Transformation < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der im Bild dargestellte Federschwinger(Masse $m$, Federsteifigkeit $ k $ ) erregt durch eine Kraft $ [mm] f_{(t)} [/mm] $ und wird durch eien geschwindigkeitsproportionale Flüssigkeitsreibung(Dämpfungskonstante $ d $) gedämpft
Die Auslenkung $ [mm] x_{(t)} [/mm] $ genügt einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung(Schwingungsgleichung) mit konstanten Koeffizienten
$ m x''_{(t)} + d x'_{(t)} + k [mm] x_{(t)} [/mm] = [mm] f_{(t)} [/mm] $
Gesucht ist die Auslenkung des Federschwingers für $ t [mm] \geq [/mm] 0 $, die Masse m=1 kg, die Dämpfungskonstante $ d= 2\ kg/s $ , die Federkonstante $ k= 1\ N/m $ und Erregerkraft
$ [mm] f_{(t)} [/mm] = [mm] \sigma_{(t)} \cdot \exp^{-t} \cdot [/mm] sin(t)$, wenn im Zeitpunkt $ t=0 s $ die Anfangsauslenkung $ [mm] x_{(0)}=0 [/mm] $ war und das System in Ruhe war.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Aufgabe soll mithilfe der Laplace-Transformation nach t gelöst werden. |
ICh weiß nicht wie ich Anfangen soll
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 So 08.02.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo LamLayLong,
du hast angegeben, du seist der Urheber des Bilds. Es sieht aber eher so aus, als hättest du eine Buchseite abfotografiert.
Was stimmt denn nun?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 So 08.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich glaube Dir nicht, dass Du diese Zeichnung selbst erstellt hast. Wenn es doch so ist, bitte ich Dich, etwas ausfürhlicher zu beschreiben, wie Du sie erstellt hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 So 08.02.2015 | | Autor: | LamLayYong |
tut mir Leid hab die Falsche Datei hochgeladen :(
Ich wollte die abgezeichnte Skizze hochladen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 So 08.02.2015 | | Autor: | chrisno |
Das kannst Du nachholen, ich denke aber, dass es für die Lösung des Problems gar nicht so wichtig ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mo 09.02.2015 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
das schöne an der Laplace-Transformaotion ist, dass man eine lineare DGL algebraisch lösen kann. Gleichzeitig kann man auch noch Randbedingungen einbauen.
Du kannst z.B. als ersten Schritt Deine DGL
[mm] $m\ddot{x}+d\dot{x}+kx=f(t)$
[/mm]
Laplace-Transformieren. Dabei gilt ja [je nach Definition]
[mm] $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t$
[/mm]
wobei $f(t)$ die Funktion ist, die Du Laplace-Transformieren möchtest.
Nun kannst Du, weil die Laplace-Transformation linear ist, deine ursprüngliche Gleichung Laplace-Transformieren. Dabei gilt z.B. [ich hoffe, das ist Dir bekannt], dass die Laplace-Transformierte einer Ableitung $f'(t)$
$sF(s)-f(0)$ ist, wobei $F(s)$ die oben definierte Laplace-Transformierte von $f(t)$ ist.
Das kannst Du jetzt für die gesamte DGL
[mm] $m\ddot{x}+d\dot{x}+kx=f(t)$
[/mm]
machen. Das gibt dann am Ende eine Gleichung für $x(s)$, d.h. Du kannst nach der Laplace-Transformierten von $x(t)$ auflösen.
Wenn Du nun $x(s)$ kennst, kannst Du die inverse Laplace-Transformation auf $x(s)$ anwenden, um $x(t)$ zu erhalten.
Ich hoffe, dieses kurze Rezept hilft Dir erst einmal weiter.
LG
Kroni
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Wie kann ich denn [mm] \sigma(t) [/mm] transformieren...
[mm] \integral_{a}^{b}{\sigma(t) \* e^{-t} \* sin(t) dx}
[/mm]
mir wurden auch keine Grenzen vorgegeben.> Hallo,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Di 10.02.2015 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
wie ist denn [mm] $\sigma(t)$ [/mm] definiert? Ist es irgendwo in der Aufgabenstellung definiert?
Mit der aktuellen Information kann ich leider nur Vermutungen anstellen.
Ich vermute, dass [mm] $\sigma(t)=1$ [/mm] für [mm] $t\ge [/mm] 0$ und $0$ sonst.
Das sorgt dafür, dass das System erst ab $t=0$ getrieben wird. Gleichzeitig sorgt es dafür, dass die treibende Kraft nicht explodiert für $t<0$.
Das Laplace-Integral lässt sich dann mE mach am einfachsten ausrechnen, indem man den [mm] $\sin$ [/mm] als Exponential-Fkt. schreibt.
LG
Kroni
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Hallo,
also im Text steht, dass die Auslenkung des Federschwingers für t [mm] \ge [/mm] 0 ist und dass im Zeitpunkt t=0 s die Anfangsauslenkung x(0)=0 war und das Szstem in Ruhe war.
Laut dem Text müsste deine Vermutung doch wahr sein?
Und außerdem müsste auch x'(0)=0 sein, da ja das System in Ruhe ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mi 11.02.2015 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
deine Infos lassen zwar nicht ganz eindeutig den Schluss [mm] $\sigma(t)=0$ [/mm] für $t<0$ zu - aber so würde es Sinn machen, denn wenn das System vor $t=0$ nicht 'getrieben' wird, ist es ja recht wahrscheinlich in Ruhe.
Mit den Infos kannst Du dann davon ausgehen, dass $x(0)=0$ und [mm] $\dot{x}(0)=0$, [/mm] weil der Oszillator in Ruhe war, korrekt.
Mit diesen Informationen kannst Du jetzt mE nach die DGL Laplace-Transformieren und nach $x(s)$ auflösen. Das dann "zurücktransformiert" ergibt dann $x(t)$.
Wenn Du dir unsicher sein solltest, ob Deine Lösung korrekt ist, kannst Du auch einfach $x(t)$ in die DGL einsetzen und überprüfen, dass $x(t)$ eine Lösung der DGL ist mit den entsprechenden Anfangsbedinungen.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mi 11.02.2015 | | Autor: | LamLayYong |
Hallo,
ok...ich Dank Dir sehr...
ich probiere mich dann an die Aufgabe mal; wenn ich Fragen haben sollte schreibe ich dann nochmals.
LG
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