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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 07.03.2006 | | Autor: | kruder |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichungen der Laplace-Transformation die Bildfunktion der folgenden Funktion:
f(t)= [mm] \pmat{ A \to 0 |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher ob mein Ansatz korrekt ist!?
[mm] \integral_{0}^{\infty}{[[ \integral_{0}^{a}{A*t dt}]+[ \integral_{a}^{2a}{-A*t dt}]]*e^{-s*t}}dt
[/mm]
komme mit diesem Ansatz dann auf [mm] \bruch{2A}{s}
[/mm]
Ist das so korrekt?
Gruß & Danke
kruder
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Hallo,
so wie ich das sehe, glaube ich das eher nicht. Wenn ich mich nicht verrechnet habe kommt da ein etwas komplizierterer Term heraus. Was mich interessieren würde, wäre, wie Du auf die Umformung
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{[[ \integral_{0}^{a}{A*t dt}]+[ \integral_{a}^{2a}{-A*t dt}]]*e^{-s*t}}dt[/mm]
kommst. Ich halte diese Umformung für falsch.
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Hier FALSCH:
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Meiner Meinung nach müsste etwas wie
[mm]F(s)=\frac{A\left(2e^{-sa} - 1 - e^{-2sa}\right)}{s}[/mm]
herauskommen (diese Angabe ist ohne Gewähr).
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Korrektur:
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Danke Herby, ein kleiner Vorzeichenfehler. Ich kann das Ergebnis von Herby nur bestätigen (genauso den Weg  ) - ich hätte schreiben sollen
[mm]F(s)=-\frac{A\left(2e^{-sa} - 1 - e^{-2sa}\right)}{s}[/mm]
und das ist identisch zu der von Herby angegebenen Lösung.
--
Gruß
Matthias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Kruder,
Hallo Matthias,
> Bestimmen Sie mit Hilfe der Definitionsgleichungen der
> Laplace-Transformation die Bildfunktion der folgenden
> Funktion:
>
> f(t)= [mm]\pmat{ A \to 0
>
> Hallo,
>
> ich bin mir nicht sicher ob mein Ansatz korrekt ist!?
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{[[ \integral_{0}^{a}{A*t dt}]+[ \integral_{a}^{2a}{-A*t dt}]]*e^{-s*t}}dt[/mm]
>
der Ansatz stimmt so nicht, aus folgendem Grund: Deine Funktion ist ab "2a" bis [mm] \infty [/mm] identisch "Null" -- also brauchst du auch nicht bis [mm] \infty [/mm] integrieren.
Bei dieser Funktion handelt es sich um den sogenannten "Rechteckimpuls" und wenn du dir diesen einmal aufzeichnest, wird klar, warum nicht bis unendlich integriert werden muss.
Nach dem Linearitätsprinzip folgt für deine Funktion, von 0 beginnend, dass du drei Abschnitte (Intervalle) hast.
1. Intervall [0;a] das ist konstant A
2. Intervall [a;2a] das ist konstant -A
3. Intervall [mm] [2a;\infty) [/mm] und das ist hier konstant 0
In der Transformation mach sich das so bemerkbar:
[mm] \mathcal{L}\{f(t)\}=\integral_{0}^{a}{A*e^{-st} dt}+ \integral_{a}^{2a}{-A*e^{-st} dt}+ \integral_{2a}^{\infty}{\red{0}*e^{-st} dt}=A*\integral_{0}^{a}{e^{-st} dt}-A*\integral_{a}^{2a}{e^{-st} dt}+ \red{0}*\integral_{2a}^{\infty}{dt}
[/mm]
wenn du diese Integrale löst bekommst du relativ schnell:
[mm] \mathcal{L}\{f(t)\}=\bruch{A*(1-e^{-as})²}{s}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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