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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 22.07.2007 | | Autor: | Dirk07 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Urbilg g(t) zu [mm] G(p)=\bruch{(1-e^{-p})^3}{p^2} [/mm] |
Hallo,
wie gehe ich da vor ? Ich weiß nicht so Recht, wie ich den Term auf eine Form bringen kann, die bei mir in der Tabelle steht. Ich habe es schon erfolglos mit ausmultiplizieren versucht, Könnt ihr mir helfen?
Lieben Gruß,
Dirk
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> Bestimmen Sie das Urbilg g(t) zu
> [mm]G(p)=\bruch{(1-e^{-p})^3}{p^2}[/mm]
> Hallo,
>
> wie gehe ich da vor ? Ich weiß nicht so Recht, wie ich den
> Term auf eine Form bringen kann, die bei mir in der Tabelle
> steht. Ich habe es schon erfolglos mit ausmultiplizieren
> versucht, Könnt ihr mir helfen?
Stelle $G(p)$ als unendliche Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{p^{n+1}}$ [/mm] dar und transformiere gliedweise: [mm] $g(t)=\mathcal{L}^{-1}(G(p))=\mathcal{L}^{-1}\big(\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{p^{n+1}}\big)=\sum_{n=0}^\infty \mathcal{L}^{-1}\big(\frac{a_n}{p^{n+1}}\big)=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{n!}t^n$?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 So 22.07.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Somebody,
danke für deine Antwort. Steige da ab noch nicht so recht durch, verstehe das nicht so recht. was ist [mm] a_n [/mm] in der unendlichen Reihe? Und warum unendliche Reihe, n ist doch endlich ? Erhalte ich dann nicht nur eine Näherung, wenn ich die Funktion durch endlich viele Glieder beschreibe ? Gibt es da nicht einen anderen Weg ?
Lieben Gruß,
Dirk
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> Hallo Somebody,
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> danke für deine Antwort. Steige da ab noch nicht so recht
> durch, verstehe das nicht so recht. was ist [mm]a_n[/mm] in der
> unendlichen Reihe?
Ich hab's doch klar genug geschrieben: Du kannst doch sicherlich [mm] $G(p)=\frac{(1-\mathrm{e}^{-p})^3}{p^2}$ [/mm] in eine Reihe der Form [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{p^{n+1}}$ [/mm] entwickeln. - Nicht? Du kannst ja zuerst [mm] $(1-\mathrm{e}^{-p})^3$ [/mm] ausmultiplizieren und dann die Potenzreihe der Exponentialfunktion verwenden, um insgsamt eine solche Reihe für $G(p)$ zu erhalten.
Tipp: Du darfst $G(p)$ auch als Summe mehrerer derartiger (unendlicher) Summen darstellen und diese einzelnen Summen getrennt rücktransformieren: die Laplacetransformation ist ja bekanntlich linear.
> Und warum unendliche Reihe, n ist doch endlich ?
n ist der Summationsindex, klar. Ich verstehe den tieferen Sinn Deiner Frage nicht.
> Erhalte ich dann nicht nur eine Näherung, wenn
> ich die Funktion durch endlich viele Glieder beschreibe ?
Du musst natürlich die ganze Reihe als Rücktransformierte nehmen, das ist klar.
> Gibt es da nicht einen anderen Weg ?
Ja, klar: mache die Rücktransformation über ein komplexes Parameterintegral (Details siehe Dein Skript oder Lehrbuch): viel Vergnügen dabei!
Etwas Einfacheres als der obige Trick mit der Reihenentwicklung und gliedweisen Rücktransformation fällt mir beim besten Willen zur Zeit nicht ein.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 07:08 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Hallo Somebody,
> >
> > danke für deine Antwort. Steige da ab noch nicht so recht
> > durch, verstehe das nicht so recht. was ist [mm]a_n[/mm] in der
> > unendlichen Reihe?
>
> Ich hab's doch klar genug geschrieben: Du kannst doch
> sicherlich [mm]G(p)=\frac{(1-\mathrm{e}^{-p})^3}{p^2}[/mm] in eine
> Reihe der Form [mm]\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{p^{n+1}}[/mm]
> entwickeln. - Nicht?
Uh, nein: vermutlich doch nicht ... ich muss schon halb geschlafen haben, als ich dies schrieb.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 23.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Dirk,
> Bestimmen Sie das Urbilg g(t) zu
> [mm]G(p)=\bruch{(1-e^{-p})^3}{p^2}[/mm]
> Hallo,
>
> wie gehe ich da vor ? Ich weiß nicht so Recht, wie ich den
> Term auf eine Form bringen kann, die bei mir in der Tabelle
> steht. Ich habe es schon erfolglos mit ausmultiplizieren
> versucht, Könnt ihr mir helfen?
Ausmultiplizieren ist doch gar nicht schlecht:
[mm] G(p) = \bruch{1}{p^2} -3 e^{-p} \bruch{1}{p^2} +3 e^{-2p} \bruch{1}{p^2} - e^{-3p} \bruch{1}{p^2}[/mm]
Das Urbild zu [mm]\bruch{1}{p^2}[/mm] ist t, wenn ich meine Tabelle richtig gelesen habe. Und das Urbild zu [mm]e^{-\lambda p} \bruch{1}{p^2}[/mm] ist [mm](t-\lambda)\Theta(t-\lambda)[/mm], wo [mm]\Theta[/mm] die Heaviside-Funktion ist:
[mm]\Theta(x) = \begin{cases} 1 & \text{für $x>0$} \\ 0 & \text{für $x<0$} \end{cases}[/mm].
Also: [mm]g(t)=t -3 (t-1) \Theta(t-1) +3 (t-2)\Theta(t-2) -(t-3)\Theta(t-3)[/mm]
Das kannst du jetzt noch als Fallunterscheidung für [mm]t<1[/mm], [mm]13[/mm] schreiben.
Grüße
Rainer
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